[論文レビュー] Fundamental Limits of Blind Deconvolution Part II: Sparsity-Ambiguity Trade-offs

Sunav Choudhary, Urbashi Mitra|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 25被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ブラインドデコンボリューションを正則化するために一般的に用いられる標準的スパarsity（canonical sparsity）が、信号空間内に内在する回転的曇り（rotational ambiguities）のため、信号の同定可能性を保証するには不十分であることを確立している。ブラインドデコンボリューションをランク1行列回復問題としてモデル化し、畳み込み演算子のランク2の核空間を分析することで、スパarsityのみでは同定不能な信号集合を除去できないことを示すスケーリング則を導出している。特に、繰り返し符号化や幾何級数的減衰信号といった現実的な符号化制約下でも同様の問題が生じる。

ABSTRACT

Blind deconvolution is an ubiquitous non-linear inverse problem in applications like wireless communications and image processing. This problem is generally ill-posed since signal identifiability is a key concern, and there have been efforts to use sparse models for regularizing blind deconvolution to promote signal identifiability. Part I of this two-part paper establishes a measure theoretically tight characterization of the ambiguity space for blind deconvolution and unidentifiability of this inverse problem under unconstrained inputs. Part II of this paper analyzes the identifiability of the canonical-sparse blind deconvolution problem and establishes surprisingly strong negative results on the sparsity-ambiguity trade-off scaling laws. Specifically, the ill-posedness of canonical-sparse blind deconvolution is quantified by exemplifying the dimension of the unidentifiable signal sets. An important conclusion of the paper is that canonical sparsity occurring naturally in applications is insufficient and that coding is necessary for signal identifiability in blind deconvolution. The methods developed herein are applied to a second-hop channel estimation problem to show that a family of subspace coded signals (including repetition coding and geometrically decaying signals) are unidentifiable under blind deconvolution.

研究の動機と目的

• 標準基底における標準的スパarsityが、ブラインドデコンボリューションにおける同定可能性を保証するのに十分かどうかを調査すること。
• スパarsity制約下での同定不能な信号集合の次元を定量化し、本質的な不適切性（ill-posedness）を明らかにすること。
• 繰り返し符号化や幾何級数的減衰信号といったサブスペース符号化信号の同定可能性を、第2ホップチャネル推定の文脈で分析すること。
• 双線形逆問題における線形畳み込み演算子のランク2核空間を測度論的にタイトに特徴付けること。
• スパarsityのみではブラインドデコンボリューションにおける根本的な曇りを克服できないことの実証を行い、同定可能性を確保するには明示的な符号設計が必要であることを示すこと。

提案手法

• 非線形な双線形逆問題を線形問題に変換するため、リフト法（lifting technique）を用いてブラインドデコンボリューションをランク1行列回復問題に再定式化すること。
• リフトされた線形畳み込み演算子のランク2核空間を分析し、同定不能な信号ペアを特徴付けること。
• 核空間の部分的にパラメトリックで再帰構造を持つ特徴付けを導出し、同定不能な信号次元の定量化を可能にすること。
• 繰り返し符号化や幾何級数的減衰信号を含むサブスペース符号化入力を持つ第2ホップチャネル推定モデルにこのフレームワークを適用すること。
• 測度論的にタイトな境界を用いて、スパarsityおよび符号化制約下での同定不能な信号集合の次元を定量化すること。
• スパarsityレベルと曇り空間の次元との関係を示すスケーリング則を確立し、圧縮センシングと比較して不利なトレードオフが生じることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般的な条件下で、標準基底における標準的スパarsityがブラインドデコンボリューションにおける同定可能性を保証できるか？
• RQ2 ブラインドデコンボリューションにおいて入力信号にスパarsityを課した場合、同定不能な信号集合の次元はどの程度か？
• RQ3 繰り返し符号化や幾何級数的減衰信号といった一般的に用いられる符号化方式は、ブラインドデコンボリューションにおける同定可能性を保証するのに十分か？
• RQ4 符号化サブスペースの構造（例：幾何級数的減衰）がブラインドデコンボリューションにおける曇り空間に与える影響は何か？
• RQ5 畳み込み演算子のランク2核空間を、同定不能な信号集合の正確な定量化を可能にする形で特徴付けることは可能か？

主な発見

• 標準基底における標準的スパarsityは、スパースベクトルに影響を及げる持続的な回転的曇りのため、ブラインドデコンボリューションにおける同定可能性を保証するには不十分である。
• 同定不能な信号集合の次元は、$ m + n - p_1 - p_2 $ 以上に下界づけられる。ここで $ p_1 $ と $ p_2 $ はスパース信号のサポート構造に依存する。
• 幾何級数的減衰信号で $ |igwedge_2| = 1 $ の場合、同定不能な集合の次元は少なくとも $ m + n + 1 - p_1 - p_2 $ であり、それ以外の場合は少なくとも $ m + n - p_1 - p_2 $ である。
• 繰り返し符号化や幾何級数的減衰信号といったサブスペース符号化信号は、スパarsity制約下にあってもブラインドデコンボリューションにおいて同定不能である。
• 標準的スパースブラインドデコンボリューションにおける曇り空間のスケーリング則は、圧縮センシングと比較して著しく不利であり、スパarsityのみでは根本的な限界があることを示している。
• 測度論的にタイトで、部分的にパラメトリックかつ再帰的な畳み込み演算子のランク2核空間の特徴付けが開発され、同定不能な信号集合の正確な定量化が可能になった。