[論文レビュー] Fundamental polyhedra in the Einstein Universe

Virginie Charette, Dominik Francoeur+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3次元のアインシュタイン宇宙において、互いに交わらないクロケット・サーフェス——マーガリス時空のサーフェスのコンformalコンパクト化——を用いて、基本的多面体を構成する。これにより、空間の開部分集合上で properly に作用する離散群の明示的構成が可能になる。主な貢献は、このような非交差するサーフェスの存在を証明することであり、これはローレンツ的設定下での proper 群作用を研究するための幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We will discuss fundamental domains for actions of discrete groups on the 3-dimensional Einstein Universe. These will be bounded by crooked surfaces, which are conformal compactifications of surfaces that arise in the construction of Margulis spacetimes. We will show that there exist pairwise disjoint crooked surfaces in the 3-dimensional Einstein Universe. As an application, we can construct explicit examples of groups acting properly on an open subset of that space.

研究の動機と目的

• 3次元アインシュタイン宇宙における離散群作用を、幾何的基本領域を用いて調査すること。
• クロケット・サーフェスがこれらの領域の境界成分として果たす役割を理解すること。
• アインシュタイン宇宙内に、互いに交わらないクロケット・サーフェスの存在を確立すること。
• この幾何的構造を応用して、アインシュタイン宇宙の開部分集合上で properly に作用する群の明示的例を構成すること。

提案手法

• クロケット・サーフェスを、マーガリス時空の構成から得られるサーフェスのコンformalコンパクト化として用いる。
• これらのサーフェスが3次元アインシュタイン宇宙内での幾何的およびコンフォーマル性質を分析する。
• これらのクロケット・サーフェスで囲まれる基本的多面体を構成し、群作用の定義領域を定義する。
• コンフォーマル幾何とローレンツ構造を用いて、群作用の非交差性と proper な性質を保証する。
• 離散群論およびローレンツ幾何の技術を応用して、作用の離散的不連続性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元アインシュタイン宇宙に、互いに交わらないクロケット・サーフェスを構成できるか？
• RQ2 クロケット・サーフェスは、離散群作用の基本領域の境界としてどのように機能するか？
• RQ3 どのような幾何的条件が、群がアインシュタイン宇宙の開部分集合上で properly に作用することを保証するか？
• RQ4 マーガリス時空サーフェスのコンフォーマルコンパクト化は、このような領域の構成にどのように寄与するか？

主な発見

• 3次元アインシュタイン宇宙内に、互いに交わらないクロケット・サーフェスが存在することが確認され、重要な幾何的前提が裏付けられた。
• これらのサーフェスを用いて基本的多面体を境界づけることができ、群作用の定義領域の基礎が構築された。
• この構成法により、アインシュタイン宇宙の開部分集合上で properly に作用する離散群の明示的例が得られた。
• この手法は、マーガリス時空サーフェスにコンフォーマルコンパクト化技術を適用することに依存している。