[論文レビュー] Fundamental Relativistic Rotator as a model of spinning particle. A Hessian degeneracy and the issue of minimal coupling to electromagnetic field

Łukasz Bratek|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2010

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 8被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、物理的自由度におけるヘッセ行列の特異性条件を用いて、スピン粒子のための一意な相対論的回転子モデルとして基本的相対論的回転子を同定し、電磁場への最小結合においてもその特異性が保存されることを示している。この特異性により初期条件が制限され、任意の場においては決定的でない運動が生じるが、一様な磁場のような特定の状況では対称性のおかげで一意な解が得られる。

ABSTRACT

There are two relativistic rotators with Casimir invariants of the Poincare group being fixed parameters. The particular models of spinning particles were studied in the past both at the classical and quantum level. Recently, a minimal interaction with electromagnetic field has been considered. We show that the dynamical systems can be uniquely singled out from among other relativistic rotators by the unphysical requirement that the Hessian referring to the physical degrees of freedom should be singular. Closely related is the fact that the equations of free motion are not independent, making the evolution indeterminate. We show that the Hessian singularity cannot be removed by the minimal interaction with the electromagnetic field. By making use of a nontrivial Hessian null space, we show that a single constraint appears in the external field for consistency of the equations of motion with the Hessian singularity. The constraint imposes unphysical limitation on the initial conditions and admissible motions. We discuss the mechanism of appearance of unique solutions in external fields on an example of motion in the uniform magnetic field. We give a simple model to illustrate that similarly constrained evolution cannot be determinate in arbitrary fields.

研究の動機と目的

• 物理的自由度におけるヘッセ行列の特異性条件を用いて、スピン粒子のための一意な相対論的回転子モデルを同定すること。
• 電磁場への最小結合が、ヘッセ行列の退化に起因する不確定性を解消できるかどうかを調査すること。
• 外部場におけるヘッセ行列の零空間によって課される制約のもとで、運動方程式の整合性を分析すること。
• 外部場において一意な解がどのような条件下で出現するかを特定すること、特に一様な磁場の場合を対象とする。

提案手法

• 物理的自由度に関する二階微分のヘッセ行列が特異でなければならないという条件を適用し、すべての可能なモデルの中から基本的相対論的回転子を選別すること。
• 自由運動の運動方程式を分析し、ヘッセ行列の特異性により独立でないことを示し、自由空間における不確定な運動に至ることを示すこと。
• 電磁場への最小結合を導入し、ヘッセ行列の特異性が元のまま維持されることを示すこと。
• ヘッセ行列の非自明な零空間を用いて、外部場における運動方程式の整合性を満たすために満たされなければならない単一の制約を導出すること。
• 一様な磁場における運動を事例として取り上げ、対称性のおかげで制約があるにもかかわらず一意な解が得られることを示すこと。
• 単純なモデルを構築し、任意の場において制約が決定的でない運動を妨げる様子を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的自由度におけるヘッセ行列の特異性という要件によって、どの相対論的回転子モデルが一意に選ばれるのか？
• RQ2 電磁場への最小結合によって、ヘッセ行列の退化に起因する運動方程式の不確定性は解消可能か？
• RQ3 ヘッセ行列の零空間が、外部場における初期条件および許容可能な運動の制約をどのように課すか？
• RQ4 ヘッセ行列の特異性に起因する制約があるにもかかわらず、外部場において一意な解がどのような条件下で出現するのか？
• RQ5 ヘッセ行列が特異である場合、任意の電磁場において決定的運動が可能か？

主な発見

• 物理的自由度におけるヘッセ行列が特異でなければならないという要件によって、基本的相対論的回転子が一意に選ばれる。
• ヘッセ行列の特異性により、運動方程式が独立でなくなり、自由空間では不確定な運動が生じる。
• 電磁場への最小結合によってヘッセ行列の特異性は解消されず、不確定性が維持される。
• ヘッセ行列の零空間から生じる単一の制約が、外部場における初期条件および許容可能な運動を制限する。
• 一様な磁場では、対称性のおかげで制約があるにもかかわらず一意な解が得られ、決定的運動の特殊なケースを示している。
• 任意の場において、制約が決定的運動を妨げるため、単純な例示モデルによってその様子が示された。