[論文レビュー] Fundamental solutions of homogeneous fully nonlinear elliptic equations

Scott N. Armstrong, Boyan Sirakov+1 more|ArXiv.org|Oct 21, 2009

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ℝⁿ\{0} における一様楕円的で正 homogeneous な完全非線形楕円型方程式 F(D²u) = 0 に対して、2 つの基本的解 Φ および Φ̃ の存在を確立する。一方で有界な解が孤立特異点の近傍でどのように振る舞うかを示し、ℝⁿ\{0} 全体で片側有界な解としての唯一の解が Φ および Φ̃ であることを示す Liouville 型定理を導出する。解のスケーリング指数 α* および α̃* は、2 人対戦型微分ゲームに由来する確率過程の再帰性・非再帰性と関連している。

ABSTRACT

We prove the existence of two fundamental solutions $Φ$ and $ ilde Φ$ of the PDE \[ F(D^2Φ) = 0 \quad {in} \mathbb{R}^n \setminus \{0 \} \] for any positively homogeneous, uniformly elliptic operator $F$. Corresponding to $F$ are two unique scaling exponents $α^*, ildeα^* > -1$ which describe the homogeneity of $Φ$ and $ ilde Φ$. We give a sharp characterization of the isolated singularities and the behavior at infinity of a solution of the equation $F(D^2u) = 0$, which is bounded on one side. A Liouville-type result demonstrates that the two fundamental solutions are the unique nontrivial solutions of $F(D^2u) = 0$ in $\mathbb{R}^n \setminus \{0 \}$ which are bounded on one side in a neighborhood of the origin as well as at infinity. Finally, we show that the sign of each scaling exponent is related to the recurrence or transience of a stochastic process for a two-player differential game.

研究の動機と目的

• 調和関数に関する Bôcher の古典的結果を、完全非線形的で一様楕円的かつ正 homogeneous な方程式に拡張すること。
• スケーリング指数 α* および α̃* が異なる 2 つの基本的解 Φ および Φ̃ を、このような方程式に対して構成すること。
• 孤立特異点付近および無限遠における片側有界な解の振る舞いを特定すること。
• ℝⁿ\{0} 全体で片側有界な非自明な解として、Φ および Φ̃ が唯一の解であることを示す Liouville 型定理を確立すること。
• スケーリング指数の符号が、関連する 2 人対戦型微分ゲームに由来する確率過程の再帰性または非再帰性とどのように関連するかを特定すること。

提案手法

• 粘性解理論と同次性の性質を用いて、ℝⁿ\{0} における F(D²u) = 0 の基本的解 Φ および Φ̃ を構成する。
• 同次性を用いてスケーリング指数 α* および α̃* > -1 を定義する：Φ(tx) = t^α* Φ(x) であり、α* は演算子 F によって決定される。
• 比較原理およびバリア法を用いて、2 人対戦型確率的微分ゲームの価値関数 v⁺_{r,R} および v⁻_{r,R} を推定する。
• 到達確率 P(τ < ∞) の漸近的挙動を、lim_{r→0} P(τ_{x,γ,b,r} < ∞) ∼ r^{α*} を通じてスケーリング指数と関連付ける。
• 到達確率の極限挙動を分析することで、拡散過程の再帰性・非再帰性を検討する。
• α* > 0 ならば非再帰性（過程が無限遠に逃れる）、α* < 0 ならば再帰性（原点にほとんど確実に帰還）、α* = 0 ならば原点に到達しない確率が正であるという意味での再帰的挙動が成立することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様楕円的で正 homogeneous な完全非線形楕円型方程式 F(D²u) = 0 が ℝⁿ\{0} で定義される場合、基本的解が存在するか？
• RQ2 片側有界な解は、孤立特異点付近および無限遠でどのように振る舞うか？
• RQ3 ℝⁿ\{0} 全体で片側有界な解がどのように特徴づけられるか、明確な Liouville 型特徴付けは何か？
• RQ4 スケーリング指数 α* および α̃* は、関連する 2 人対戦型微分ゲームにおける確率過程の再帰性または非再帰性とどのように関連するか？
• RQ5 到達確率の漸近的挙動を用いて、α* の符号を特定し、その結果として拡散過程の長期的挙動を特定できるか？

主な発見

• 任意の一様楕円的で正 homogeneous な F に対して、同次性次数が α* および α̃* > -1 である 2 つの基本的解 Φ および Φ̃ が存在する。
• 孤立特異点の近傍で片側有界な解は、スケーリング指数の符号に応じて、Φ または Φ̃ と漸近的に類似した振る舞いを示す。
• Liouville の定理が成立する：ℝⁿ\{0} で 0 の近傍および無限遠で片側有界な F(D²u) = 0 の解は、Φ、Φ̃、および定数の線形結合に限られる。
• α* > 0 ならば、lim_{r→0} sup_γ inf_b P(τ_{x,γ(b),b,r} < ∞) ∼ r^{α*} が成り立ち、過程の非再帰性を示唆する。
• α* < 0 ならば、lim_{R→∞} sup_γ inf_b P(τ_{x,γ(b),b,0} < τ_{x,γ(b),b,R}) ∼ 1 - R^{α*} が成り立ち、再帰性（原点へのほとんど確実な帰還）を示唆する。
• α* = 0 のとき、過程は原点の近傍に無限回戻るが、原点に到達しない確率が正である可能性があるという意味で再帰的である。