[論文レビュー] Fundamentals in Peaceman Model for Well-Block radius For Non-Linear Flows Near Well

Akif Ibragimov, Э.С. Закиров+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2022

Heat and Mass Transfer in Porous Media被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、井戸近傍で有限差分解と解析的径方向流れ解を「接続」する厳密な数学的枠組みを用いて、Peacemanの井戸ブロック半径式を再解釈する。非線形Forchheimer流れに対する一般化された井戸ブロック半径を導出し、それが流量とForchheimer β要因に依存することを示す。Dake式を修正し、非ダルシー流れ領域における正確なリザーバー・シミュレーションのため、D要因をメッシュおよび流量に依存させる。

ABSTRACT

We consider sewing machinery between finite difference and analytical solutions defined at different scale: far away and near source of the perturbation of the flow. One of the essences of the approach is that coarse problem and boundary value problem in the proxy of the source model two different flows. We are proposing method to glue solution via total fluxes, which is predefined on coarse grid. It is important to mention that the coarse solution "does not see" boundary. From industrial point of view our report provide mathematical tool for analytical interpretation of simulated data for fluid flow around a well in a porous medium. It can be considered as a mathematical "shirt" on famous Peaceman well-block radius formula for linear (Darcy) radial flow but can be applied in much more general scenario. As an important case, we consider nonlinear Forchheimer flow. In the article we rigorously obtained well-block radius, explicitly depending on $β-$Forchheimer factor and total rate of the flow on the well, and provide generalization of the Dake Formula and evaluation of the $D-$factor.

研究の動機と目的

• 非線形流れ、特にForchheimer型流れに対して、Peacemanの井戸ブロック半径概念を数学的に再定式化し、リザーバー・シミュレーションにおける精度を向上させること。
• 伝統的に一定と仮定されるD要因が非線形流れ領域に適用される際の不整合を解消すること。
• 埋め込まれた環状領域における有限差分物質収支方程式と解析的径方向流れ解を「接続」する厳密な手法を確立すること。
• Forchheimer β要因および流量に明示的に依存する新しい井戸ブロック半径式を導出すること。この式は線形および非線形流れ領域の両方に有効である。
• リザーバー・シミュレータで使用されるD要因が普遍的ではなく、特に非ダルシー条件下ではメッシュサイズΔおよび流量qに依存することを示すこと。

提案手法

• 非線形Forchheimer流れを有する内側領域と、線形物質収支を有する外側粗いグリッド領域を有する二領域の環状モデルを用いる。両領域は流れの連続性で接続される。
• グリーン関数法を用いて、内側環状領域における解析的解を表現し、界面における正確な流れの一致を可能にする。
• 有限差分ステンシルからの全流量と解析的解からの流量を等置することで、井戸ブロック半径R₀を導出。これにより、粗いグリッド物質収支と一貫性が保たれる。
• 非線形流れの文脈において、数学的整合性と解の一意性を保証するため、修正されたPeacemanの適切な境界条件を導入する。
• Forchheimer則に従う非線形径方向流れ方程式：−∂p/∂r = αv + βv² を解き、井戸周辺からグリッドブロックの外縁まで統合する。
• 標準的なダルシーに基づくR₀を、β、q、およびグリッドサイズΔに依存する補正項を含む新しい式に置き換える。この補正項は、界面での流れの一致から導出される。

Figure 1 . Five-spot grid of size $\Delta$ with the well at center, and auxiliary $U(0,R_{w},R_{1})$ and $U(0,R_{w},R_{0})$

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的Peaceman井戸ブロック半径は、非線形Forchheimer流れに一般化可能であり、有限差分物質収支と整合的であるか？
• RQ2 非線形領域において、井戸ブロック半径R₀はForchheimer β要因および流量qにどのように依存するか？
• RQ3 非ダルシー流れが存在する場合、リザーバー・シミュレータで使用されるD要因の正しい形は何か？また、それはグリッドサイズΔに依存しないのか？
• RQ4 Forchheimer流れシミュレーションにおいてダルシーに基づくR₀を使用すると、系統的な誤差が生じるか？その条件は何か？
• RQ5 井戸近傍のマルチスケール流れ問題において、有限差分解と解析解を「接続」する統一的な数学的枠組みを確立可能か？

主な発見

• Forchheimer流れにおける井戸ブロック半径は、もはや定数ではなく、流量qおよびForchheimer β要因に明示的に依存する。これは古典的Peaceman式とは異なる。
• 導出されたR₀の式には、q²に比例する補正項が含まれており、Δが小さくなったりqが大きくなったりする際、その影響が顕著になり、定数D要因の仮定を無効にする。
• 正しい圧力勾配式は、p₀ − p_w = (α/2π)q ln(R₀_Darcy / R_w) + (βq² / 4π²)(1/R_w − 1/Δ) であり、グリッドサイズΔに明示的な依存関係を示す。
• シミュレータで一般的に使用されるD要因は普遍的ではなく、Δおよびqに応じて調整する必要があり、非ダルシー流れではグリッドおよび流量に依存する。
• 古典的Peaceman半径R₀_Darcy = Δ·e^(-π/2) は、Δが大きくまたはqが低い場合にのみ良好な近似となる。細かいグリッドや高流量では、補正項が顕著に顕在する。
• 本手法は、リザーバー・シミュレータでシミュレートされた圧力p₀を、物理的に整合的な流れ一致原理を通じて実際の井戸周辺圧力p_wに結びつける、数学的に厳密な基礎を提供する。

Figure 2 . Five-point stencil for the finite difference scheme, and domain of the flow with source at $0$