[論文レビュー] Further discussion of Tomboulis' approach to the confinement problem

Keiichi R. Ito, Erhard Seiler|ArXiv.org|Mar 20, 2008

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ミガル＝カダノフ型の密度行列走査群（RG）再帰を用いた4次元格子ヤン＝ミルズ理論におけるクォーク閉じ込めのTomboulisによる厳密な証明について、批判的に検討する。証明に解けないギャップが存在し、特に、元の理論と粗粒度化された理論の分配関数の等価性を保証するパラメータ $ t_* $ の存在と連続性に関する問題が指摘される。また、非アーベル群とアーベル群における表現係数 $ c_j(n) $ の収束速度の明確な区別が、証明が成立するためには不可欠であると主張する。著者らは、パrameter依存性のさらなる解析と陰関数定理の適用可能性の検証がなされない限り、このアプローチは未完成のままであると結論づける。

ABSTRACT

We discuss in some detail certain gaps and open problems in the recent paper by E. T. Tomboulis, which claims to give a rigorous proof of quark confinement in 4D lattice Yang-Mills theory for all values of the bare coupling. We also discuss what would be needed to fill the gaps in his proof.

研究の動機と目的

• Tomboulスの4次元SU(2)格子ヤン＝ミルズ理論におけるクォーク閉じ込めの証明が、ミガル＝カダノフ型RG手法によって正当に成立するかを厳密に評価すること。
• 特に、元の分配関数と粗粒度化された分配関数の等価性を保証するパラメータ $ t_* $ の存在と連続性に関する未解決のギャップを特定・明確化すること。
• RGフロー下での表現係数 $ c_j(n) $ の収束挙動が、非アーベル理論とアーベル理論を区別するのに十分であるかを検討すること。これは閉じ込めを示すために不可欠な要件である。
• $ t( heta) $ を定義するために用いられた陰関数定理の適用が、$ \theta = 1 $ の近傍を含む全範囲で有効であるかを検証すること。
• $ h(\theta,t) $ と $ \tilde{c}_j(\theta) $ を用いたパラメータ化が、粗粒度化下でも分配関数の不変性を一貫して維持できるかを評価すること。

提案手法

• ミガル＝カダノフ型のRG再帰式を分析し、繰り返しの粗粒度化ステップにおける特性展開係数 $ c_j(n) $ の変換に注目する。
• 分配関数のパラメータ化 $ h(\theta,t) = \text{exp}[-t(1-\theta)/\theta] $ を検討し、特定の $ \theta $ と $ t $ の選択により、粗粒度化変換が数値的に正確であると主張されている。
• 方程式 $ \tilde{Z}_1(\tilde{c}_j(\theta(t)), t) = Z^+(\tilde{c}_j) $ に陰関数定理を適用し、$ t(0) = 0 $ を満たす解 $ t(\theta) $ を求め、$ \theta = 1 $ までその解を連続的に延長できる条件を分析する。
• $ \frac{\text{d}t}{\text{d}\theta} = -\frac{\text{d}\theta/\text{d}t}{\text{d}\theta/\text{d}t} $ のヤコビアンを検討し、$ \frac{\text{d}\theta}{\text{d}t} \neq 0 $ であることを確認することで、$ t(\theta) $ の微分可能性を保証する。
• カナザワの反例を用いて、$ \theta(t) $ が正しく定義されていても、$ \theta = 1 $ まで拡張できない可能性があることを示し、解写像の収縮性の必要性を強調する。
• SU(2)とU(1)ゲージ群における $ c_j(n) \to 0 $ の収束速度を比較し、非アーベル性とアーベル性の差が閉じ込めを特徴づけるために、定量的に確立される必要があると主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $ r \approx 1 $ のとき、$ \theta(t_*) = \theta^+(t_*) $ を満たす解 $ t_* $ が存在し、強い結合固定点に収束することが保証されるか？
• RQ2 導関数 $ \frac{\text{d}\theta}{\text{d}t} $ の特異性が生じる可能性があるにもかかわらず、$ \theta = 0 $ から $ \theta = 1 $ まで連続的に $ t(\theta) $ を定義するための陰関数定理の適用が可能か？
• RQ3 関数空間において、写像 $ \theta \to t(\theta) $ が収縮的であるかを確認し、積分方程式 $ t(\theta) = \theta_0 + \theta \times \text{積分} F(s,t(s)) $ の一意解の存在を保証できるか？
• RQ4 非アーベル（SU(2)）とアーベル（U(1)）ゲージ群におけるRGフロー下での $ c_j(n) $ の収束速度の違いは何か？この差が、閉じ込めとヒッグス的挙動を区別するのに十分か？
• RQ5 $ \beta $ と格子サイズ $ \tilde{\beta} $ に依存する $ r $, $ \theta $, $ t $ の正確な依存関係は何か？この関係は、第一原理から導出可能か？

主な発見

• Tomboulisによる4次元格子ヤン＝ミルズ理論におけるクォーク閉じ込めの証明は、未解決のギャップを含んでおり、特に、臨界パラメータ $ t_* $ の存在と連続性の問題が顕在化している。
• 陰関数定理を用いて $ t(\theta) $ を定義する手法は、$ \theta = 1 $ まで解が延長可能であるとは限らず、$ \theta(t) $ が非ゼロの導関数を持つにもかかわらず、$ \theta = 1 $ まで拡張できない反例によって示された。
• $ c_j(n) \to 0 $ への収束は、閉じ込めを保証するには不十分である。非アーベル群とアーベル群における収束速度の顕著な差がなければならず、その差は厳密に定量的に示されなければならない。
• $ h(\theta,t) $ と $ \tilde{c}_j(\theta) $ を用いたパラメータ化は、粗粒度化変換がすべてのスケールで分配関数の不変性を保つかどうかという根本的問題を解決しない。
• $ \theta $ と $ r $ が $ \beta $ と格子サイズ $ \tilde{\beta} $ に依存する仕組みは明確でなく、この不確実性が証明の一般性と厳密性を損なっている。
• 著者らは、$ G = SU(N) $ に対しては結果が妥当である可能性があるものの、解写像の収縮性とヤコビアン $ \frac{\text{d}\theta}{\text{d}t} $ の非退化性の確立がなされない限り、証明は未完成のままであると結論づける。