[論文レビュー] Further remarks on local discriminants

Chandan Singh Dalawat|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$p$次の単位根を含む局所体 $K$ における初等アーベル $p$-拡大の分岐フィルトレーションおよび判別式を計算する明示的なクーメル理論的枠組みを構築し、局所関数体に対しても類似のアーティン・シュライエル理論を確立する。主な貢献は、クーメルペアリングと上位分岐フィルトレーションの間の直交関係を確立することで、類体論に依存せずに判別式や分岐ブレイクを直接計算可能にする点である。

ABSTRACT

Using Kummer theory for a finite extension K of \Qp(ζ)(where p is a prime number and ζa primitive p-th root of~1), we compute the ramification filtration and the discriminant of an arbitrary elementary abelian p-extension of K. We also develop the analogous Artin-Schreier theory for finite extensions of \Fp((π)) and derive similar results for their elementary abelian p-extensions.

研究の動機と目的

• 有限体 $\mathbb{Q}_p(\zeta)$ の有限拡大 $K$ における任意の初等アーベル $p$-拡大の分岐フィルトレーションおよび判別式を計算すること。
• 局所関数体 $\mathbb{F}_p((\pi))$ における類似のアーティン・シュ Raiエル理論を構築し、それらの初等アーベル $p$-拡大について同様の結果を導出すること。
• ガロア群の上位分岐フィルトレーションと $K^\times / K^{\times p}$（または $K/\wp(K)$）上のフィルトレーションの間の直交関係を確立し、類体論に依存せずに不変量を明示的に計算可能にする点。
• このような拡大の分岐ブレイクの可能な列挙、次数、総数を特定し、微分を用いて判別式の付値を計算すること。

提案手法

• 有限拡大 $K/\mathbb{Q}_p(\zeta)$ におけるクーメル理論を用い、単数群のフィルトレーションによって誘導される $\overline{K^\times} = K^\times / K^{\times p}$ 上のフィルトレーション $\bar{U}_n$ を分析する。
• 直交関係 $ (G^u)^\perp = \bar{U}_{pe_1 - \lceil u \rceil + 1} $ を適用し、$M$ を $K$ における最大の初等アーベル $p$-拡大とするとき $G = \mathrm{Gal}(M/K)$ である。
• 巡回的 $p$-拡大 $K(\sqrt[p]{D})$ の分岐ブレイクを、$D \subset \bar{U}_m \setminus \bar{U}_{m+1}$ である場合に $pe_1 - m$ として導出する。
• アーティン・シュライエル拡大では、加法群 $K$ とフィルトレーション $\wp^{-1}(\mathfrak{p}^m)$ を用い、双対的な直交関係を確立する。
• 微分を用いて判別式の付値を計算する：$v_K(d_{L|K}) = p \cdot v_L(\mathfrak{D}_{L|K})$ であり、$v_L(\mathfrak{D}_{L|K}) = (1 + b^{(c(m))})q^{c(m)} - (1 + b_{(c(m))})$ である。
• ノルム群の特徴付けを用いる：$L = K(\wp^{-1}(\mathfrak{p}^{-m}))$ に対して $N_{L|K}(L^\times) = U_{m+1}K^{\times p}$ であり、これはクーメルの場合の $N_{L|K}(L^\times) = U_{pe_1 - m + 1}K^{\times p}$ に双対的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原始 $p$ 次根を含む局所体 $K$ における任意の初等アーベル $p$-拡大の分岐フィルトレーションは何か？
• RQ2 類体論や Führerdiskriminantenproduktformel を用いずに、このような拡大の判別式を明示的に計算する方法は何か？
• RQ3 このような拡大における分岐ブレイクの可能な列挙、次数、および総数は何か？
• RQ4 局所関数体 $\mathbb{F}_p((\pi))$ におけるアーティン・シュライエル理論は、局所数体におけるクーメル理論とどのように類似しているか？
• RQ5 $p$-主部分群の場合に、ガロア群の上位分岐フィルトレーションと $K^\times / K^{\times p}$（または $K/\wp(K)$）上のフィルトレーションの間の正確な直交関係は何か？

主な発見

• $K$ における最大の初等アーベル $p$-拡大 $M$ に対して、$\mathrm{Gal}(M|K)$ の上位分岐ブレイクは、$-1$、$[1, pe_1[$ 内の $p$ と互いに素な整数 $e$ 個、および $pe_1$ で正確に発生する。
• $D \subset \bar{U}_m \setminus \bar{U}_{m+1}$ である $L = K(\sqrt[p]{D})$ に対して、唯一の分岐ブレイクは $pe_1 - m$ であり、$m = 0$ でない限り $p$ と互いに素である。
• $L|K$ の判別式の付値は $v_K(d_{L|K}) = p \cdot v_L(\mathfrak{D}_{L|K})$ で与えられ、ここで $v_L(\mathfrak{D}_{L|K}) = (1 + b^{(c(m))})q^{c(m)} - (1 + b_{(c(m))})$ であり、$q = p^f$、$b^{(i)}$ は $[1,m]$ 内の $p$ と互いに素な $i$ 番目の整数である。
• アーティン・シュライエル拡大 $L = K(\wp^{-1}(\mathfrak{p}^{-m}))$ に対して、上位分岐ブレイクは $-1$ および $[1,m]$ 内の $c(m)$ 個の整数 $b^{(1)} < \cdots < b^{(c(m))}$ で発生する。
• $L|K$ のノルム群は $N_{L|K}(L^\times) = U_{m+1}K^{\times p}$ を満たし、これはクーメルの場合の $N_{L|K}(L^\times) = U_{pe_1 - m + 1}K^{\times p}$ に双対的である。
• 直交関係により、ハッセ＝アルトの定理を用いずに分岐ブレイクが整数であることが保証され、$\overline{K^\times}$ 上のフィルトレーションから分岐フィルトレーションを完全に再構成可能である。