[論文レビュー] Further results on Hilbert's Tenth Problem

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、11変数の多項方程式について、整数上でのヒルベルトの10番目の問題が決定不能であることを確立している。これは、このような方程式が整数解を持つかどうかを判定するアルゴリズムが存在しないことを示している。さらに、すべての変数が完全平方数に制限された17変数方程式の可解性をテストするアルゴリズムも存在しないことが示され、整数の平方数上で非負値をとる20変数の多項式が構成されており、その値はちょうど素数の集合と一致する。

ABSTRACT

Hilbert's Tenth Problem (HTP) asks for an algorithm to test whether an arbitrary polynomial Diophantine equation with integer coefficients has solutions over the ring $\mathbb Z$ of the integers. This was finally solved by Matiyasevich negatively in 1970. In this paper we obtain some further results on HTP over $\mathbb Z$. We prove that there is no algorithm to determine for any $P(z_1,\ldots,z_9)\in\mathbb Z[z_1,\ldots,z_9]$ whether the equation $P(z_1,\ldots,z_9)=0$ has integral solutions with $z_9\ge0$. Consequently, there is no algorithm to test whether an arbitrary polynomial Diophantine equation $P(z_1,\ldots,z_{11})=0$ (with integer coefficients) in 11 unknowns has integral solutions, which provides the best record on the original HTP over $\mathbb Z$. We also prove that there is no algorithm to test for any $P(z_1,\ldots,z_{17})\in\mathbb Z[z_1,\ldots,z_{17}]$ whether $P(z_1^2,\ldots,z_{17}^2)=0$ has integral solutions, and that there is a polynomial $Q(z_1,\ldots,z_{20})\in\mathbb Z[z_1,\ldots,z_{20}]$ such that $$\{Q(z_1^2,\ldots,z_{20}^2):\ z_1,\ldots,z_{20}\in\mathbb Z\}\cap\{0,1,2,\ldots\}$$ coincides with the set of all primes.

研究の動機と目的

• 整数上でのヒルベルトの10番目の問題の決定不能性に必要な変数の最小数を特定すること。
• 非負値または平方値をとる変数といった制約の下でのディオファントス方程式の決定可能性を調査すること。
• 整数の平方数上で定義された多項式の像がちょうど素数の集合と一致する多項式を構成すること。
• 特に非再帰的な再帰的可算集合のディオファントス表現の理解を拡張すること。

提案手法

• すべての再帰的可算集合がディオファントス的であることを示したマティアセヴィッチの定理を活用し、指数的ディオファントス表現を用いて非再帰的再帰的可算集合を符号化した。
• プットンのテクニックを適用：任意の多項式 $ P(x) $ に対して、集合 $ \{x \in \mathbb{N} : P(x) = 0\} $ は $ \mathbb{N} \cap \{(x+1)(1 - P(x)^2) - 1 : x \in \mathbb{N}\} $ に等しくなる。これにより、解集合の変換が可能になった。
• ラグランジュの四平方定理および一般化された多角数定理（例えば、八角数、三角数、五角数）を用いて変数を再パrameter化し、解空間の制約を軽減した。
• 整数の平方数 $ z_i^2 $ に対して非負値をとる20変数の多項式 $ \hat{P}(z_1, \dots, z_{20}) $ を構成し、その値がちょうど素数の集合と一致するようにした。
• 非負値および平方値をとる変数をディオファントス表現で符号化することで、決定不能なディオファントス方程式における変数の数を削減した。
• 9変数の結果を変数の置換と数論的恒等式を組み合わせて用い、$ z_9 \geq 0 $ の制約のもとで11変数方程式の決定不能性、およびすべての変数が平方数である17変数方程式の決定不能性を証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数上での決定不能なディオファントス方程式に必要な変数の最小数は何か。この上限を改善できるか。
• RQ2 11変数のディオファントス方程式が整数解を持つかどうかを判定することは、1つの変数が非負に制限された場合でも決定不能か。
• RQ3 すべての変数が完全平方数に制限された場合でも、ヒルベルトの10番目の問題の決定不能性は保たれるか。
• RQ4 有限個の変数を持つ多項式が存在し、整数の平方数上で定義された像がちょうど素数の集合と一致するか。

主な発見

• 整数解 $ z_9 \geq 0 $ を持つディオファントス方程式 $ P(z_1, \dots, z_9) = 0 $ に対して、その解の存在を判定するアルゴリズムは存在しない。これは、ヒルベルトの10番目の問題が11変数において決定不能であることを示している。
• すべての変数が完全平方数に制限された方程式 $ P(z_1^2, \dots, z_{17}^2) = 0 $ に対して、整数解の存在をテストするアルゴリズムは存在しない。これは、変数がすべて平方数に制限された場合でも決定不能性が成立することを示している。
• 20変数の多項式 $ \hat{P}(z_1, \dots, z_{20}) \in \mathbb{Z}[z_1, \dots, z_{20}] $ が存在し、集合 $ \{ \hat{P}(z_1^2, \dots, z_{20}^2) : z_1, \dots, z_{20} \in \mathbb{Z} \} \cap \{0,1,2,\dots\} $ がちょうど素数の集合と一致する。
• 変数が平方数に制限された整数環上でも、素数の集合はディオファントス的である。20変数の多項式によって実現される。
• 本論文は、9変数の結果を拡張し、1つの変数が非負に制限された11変数方程式においても決定不能性が成立することを示した。これは、決定不能性に必要な変数数の既知の上限を改善した。
• プットンのテクニックと数論的恒等式（例えば、四平方の和、一般化された八角数）を用いて、非負値および平方値をディオファントス方程式に符号化した。