[論文レビュー] Further Results on Quadratic Permutation Polynomial-Based Interleavers for Turbo Codes

Eirik Rosnes|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2011

Advanced Wireless Communication Techniques参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、二次順列多項式（QPP）に基づくトゥルーボ符号の最小距離（dmin）のタイトな上限を提示し、QPPがQPP逆数を有する場合、dminは2(2^{ν+1} + 9)以下であることを示している。ここでνは原始フィードバックおよびモニックフィードフォワード多項式の次数を表す。さらに、高次逆数を許容することで、dminの値をより大きくすることができる。例えば、N=6016のQPPでは、推定dminが57に達し、3GPP LTE規格のdminである51を上回る。また、二重終端化を施したすべての3GPP LTEトゥルーボ符号について、正確なdminとその重複度も計算している。

ABSTRACT

An interleaver is a critical component for the channel coding performance of turbo codes. Algebraic constructions are of particular interest because they admit analytical designs and simple, practical hardware implementation. Also, the recently proposed quadratic permutation polynomial (QPP) based interleavers by Sun and Takeshita (IEEE Trans. Inf. Theory, Jan. 2005) provide excellent performance for short-to-medium block lengths, and have been selected for the 3GPP LTE standard. In this work, we derive some upper bounds on the best achievable minimum distance dmin of QPP-based conventional binary turbo codes (with tailbiting termination, or dual termination when the interleaver length N is sufficiently large) that are tight for larger block sizes. In particular, we show that the minimum distance is at most 2(2^{ν+1}+9), independent of the interleaver length, when the QPP has a QPP inverse, where ν is the degree of the primitive feedback and monic feedforward polynomials. However, allowing the QPP to have a larger degree inverse may give strictly larger minimum distances (and lower multiplicities). In particular, we provide several QPPs with an inverse degree of at least three for some of the 3GPP LTE interleaver lengths giving a dmin with the 3GPP LTE constituent encoders which is strictly larger than 50. For instance, we have found a QPP for N=6016 which gives an estimated dmin of 57. Furthermore, we provide the exact minimum distance and the corresponding multiplicity for all 3GPP LTE turbo codes (with dual termination) which shows that the best minimum distance is 51. Finally, we compute the best achievable minimum distance with QPP interleavers for all 3GPP LTE interleaver lengths N <= 4096, and compare the minimum distance with the one we get when using the 3GPP LTE polynomials.

研究の動機と目的

• QPPに基づく従来のバイナリトゥルーボ符号（テイルビーティングまたは二重終端化を想定）の、最良の達成可能な最小距離（dmin）に対するタイトな上限を導出すること。
• QPPに高次逆数を許容することで、QPP逆数を有するQPPと比較して、dminの値を厳密に大きくできるかどうかを調査すること。
• 二重終端化を施したすべての3GPP LTEトゥルーボ符号について、正確な最小距離とその重複度を計算すること。
• 特にdminが50を厳密に上回るQPPを、中〜大規模なインタリーブ長Nについて特定し、3GPP LTE規格の多項式と比較すること。
• 3GPP LTEの長さN ≤ 4096のすべてのQPPインタリーブにおいて、達成可能な最良のdminを特定すること。

提案手法

• 整数環ZN上の順列多項式の性質を用いて、QPPに基づくトゥルーボ符号のdminに対する解析的上限を導出する。
• 上界の計算において、逆数の次数が4以上であるQPPに限定するため、命題3および定理3を適用する。
• 導出された上界のタイトさを検証するために、逆数の次数が4以上のすべてのQPPについて、総当たりのコンピュータ探索を実施する。
• 候補となるQPPのdminと重複度を推定するために、三重インパulse法を用いる。
• 提案されたQPPを用いたdminの最良値を、3GPP LTE規格の多項式が達成するdminと比較する。
• 二重終端化を施したすべての3GPP LTEトゥルーボ符号について、総当たりの列挙によって正確なdminと重複度を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QPPがQPP逆数を有する場合、インタリーブ長Nに依存しない、QPPに基づくトゥルーボ符号の最小距離dminに対する、最もタイトな上限は何か？
• RQ2 QPPが高次逆数（次数≥3）を有する場合、QPP逆数を有するQPPと比較して、dminの値を厳密に大きくできるか？もし可能であれば、その差はどれほどか？
• RQ3 すべての許容されるインタリーブ長において、二重終端化を施したすべての3GPP LTEトゥルーボ符号について、正確な最小距離とその重複度は何か？
• RQ4 3GPP LTEのインタリーブ長N ≤ 4096において、QPPインタリーブを用いた場合の、達成可能な最良のdminは何か？また、3GPP LTE規格の多項式が達成するdminと比較するとどうなるか？
• RQ5 逆数次数が3のQPPに対して、dminの上限が51であるという普遍的上限は成立するか？それとも、より高い値を達成できるか？

主な発見

• QPPがQPP逆数を有する場合のdminに対する上界は、2(2^{ν+1} + 9)であり、インタリーブ長Nに依存しない。ここでνは原始フィードバックおよびモニックフィードフォワード多項式の次数を表す。
• N = 6016の場合、QPP f(x) = 59x + 658x^2 は、推定dminが57に達し、3GPP LTE規格のdmin（51）を上回る。
• 二重終端化を施したすべての3GPP LTEトゥルーボ符号の正確なdminは51であり、これはすべての標準インタリーブ長で達成される。
• N = 6144の場合、逆数次数が3のQPPはdmin = 51を達成し、重複度が94と非常に低くなる。これは3GPP LTE規格の12179と比較して顕著に低い。
• 逆数次数が3のQPPの中で、発見された最大のdminは56であり、f(x) = 39x + 760x^2 (mod 9728) で達成された。これは、51がこのようなQPPに対して普遍的上限ではないことを示している。
• N > 4096のQPPのいくつかは、dminが50を厳密に上回り、3GPP LTE規格と比較して重複度が著しく低い改善されたQPPとして特定された。特にN = 6016およびN = 6144で顕著な改善が得られた。