[論文レビュー] Further results on some classes of permutation polynomials over finite fields

Xiaogang Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限体上の置換多項式に関する最近の研究を拡張し、係数、指数、体拡張の変更を通じて既存のクラスを一般化し、新たなクラスを構成する。AGW基準およびトレース関数技術を用いて、$ﶺckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 上の特定の多変数3次式および単項式が、パラメータのノルムおよびトレース制約を含む明示的な代数的条件を満たす場合に置換多項式であることを証明する。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}_q$ denote the finite fields with $q$ elements. The permutation behavior of several classes of infinite families of permutation polynomials over finite fields have been studied in recent years. In this paper, we continue with their studies, and get some further results about the permutation properties of the permutation polynomials. Also, some new classes of permutation polynomials are constructed. For these, we alter the coefficients, exponents or the underlying fields, etc.

研究の動機と目的

• 有限体上の既知の置換多項式クラスを一般化・拡張すること、特に $f(x) = (x^{q^k} + x + \theta)^s + cx$ の形のものについて。
• 係数、指数、または基礎となる有限体拡張を変更することで、新たな置換多項式クラスを構成すること。
• 多変数3次式および単項式が $ Belmont{F}_{2^{3m}}$ 上で置換多項式であるための十分条件を提供すること。
• AGW基準およびトレース関数に基づく手法を用いて、新たなパrameter範囲における置換性を証明すること。
• [22]および[11]の結果を一般化し、$\delta$ や $c$ のパラメータ制約を緩和し、より高次の拡張へと拡張すること。

提案手法

• Lemma 1およびLemma 2に基づくAGW基準を、$x^{q^k} + x + \theta$ および $x^{q^k} - x + \theta$ を含む多項式の置換性の変換に適用する。
• gcdおよび乗法的群構造に基づくLemma 3を用い、$ Belmont{F}_{q^n}$ 上での置換性テストを、$d$ 乗単位根のなす部分群 $\mu_d$ 上でのテストに簡略化する。
• Lemma 4を用いて、特に単位円上での$ Belmont{F}_{2^{2m}}$ 上の2次方程式の解を分析し、置換性の条件を検証する。
• 線形化多項式が一意な根を持つことを保証するノルムに基づく条件 $1 + N(b)(u^{q^2} + u^q + u + 1) + N(a) \neq 0$（Lemma 7）を導入する。
• 代数的簡略化が不十分な場合に、記号計算および結果式法を用いて置換性を検証する。
• Magmaソフトウェアを用いて、$a^{73} \neq 1$ および $a,b$ におけるノルム条件を満たす場合を含む、置換多項式の具体的な例を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $c \in \ufdbackslashmathbb{F}_{2^m}^*$ のとき、多項式 $f(x) = (x^{2^m} + x + \theta)^{2^{2m}+1} + cx$ が $ Belmont{F}_{2^{3m}}$ を置換する条件は何か？
• RQ2 [22]の条件を一般化し、$\delta \in \ufdbackslashmathbb{F}_{q^n}$ を任意に許容しながらも置換性を維持するにはどうすればよいか？
• RQ3 係数および指数にどのような変更を加えると、$ Belmont{F}_{2^{3m}}$ 上で新たな置換多項式クラスが得られるか？
• RQ4 多項式 $f(x) = x^r (x^{2^{2m}} + b x^{2^m} + a x + \delta)^{s(2^{2m}+2^m+1)}$ が $ Belmont{F}_{2^{3m}}$ を置換する条件は何か？
• RQ5 ノルムおよびトレース条件が、$ Belmont{F}_{2^{3m}}$ 上の線形化多項式が一意な根を持つために果たす役割は何か？また、これは置換多項式の構成とどのように関係するか？

主な発見

• 多項式 $f(x) = (x^{2^m} + x + \theta)^{2^{2m}+1} + cx$ は、すべての $\theta \in \ufdbackslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ および $c \in \ufdbackslashmathbb{F}_{2^m}^*$ に対して $ Belmont{F}_{2^{3m}}$ 上で置換多項式である。これは[22]の結果を一般化する。
• 多項式 $f(x) = x^r (x^{2^{2m}} + b x^{2^m} + a x + \delta)^{s(2^{2m}+2^m+1)}$ は、$\gcd(r, 2^{3m}-1) = 1$、$a^{2^{2m}+2^m+1} + 1 \neq 0$、および $\left(\frac{a^{2^{2m}}b^{2^m} + a^{2^{2m}+2^m}b + b^{2^{2m}}}{a^{2^{2m}+2^m+1}+1}\right)^{2^{2m}+2^m+1} \neq 1$ を満たす場合に、$ Belmont{F}_{2^{3m}}$ 上で置換多項式である。
• $a^{2^{2m}+2^m+1} + 1 = 0$ の場合、$a^{2^{2m}}b^{2^m} + a^{2^{2m}+2^m}b + b^{2^{2m}} \neq 0$ が成り立つ限り、$r$ に関するgcd条件のもとで多項式は置換多項式である。
• 線形化多項式 $L(x) = a x + b x^{2^m} + x^{2^{2m}}$ は、$1 + N(b)(u^{q^2} + u^q + u + 1) + N(a) \neq 0$ を満たす場合、$ Belmont{F}_{2^{3m}}$ 上にちょうど1つの根を持つ。ここで $u = a^{2^m}/b^{2^m+1}$ である。
• 例7はMagmaを用いて、$f(x) = x^4 (x^{56} + a x^7 + 1)^{219}$ が $a^{73} \neq 1$ かつ $\left(\frac{a^{64} + a^{72} + 1}{a^{73}}\right)^{73} \neq 1$ のとき、$ Belmont{F}_{2^9}$ 上で置換多項式であることを確認している。
• 例8は、$a = \omega^{21}, \omega^{42}$ のとき、$f(x) = x^6 (x^{48} + x^{12} + a x)^{63}$ が $ Belmont{F}_{64}$ 上で置換多項式であることを検証している。ここで $\omega$ は $ Belmont{F}_{64}$ の原始元である。