[論文レビュー] Further results on the 2-adic complexity of a class of balanced generalized cyclotomic sequences

Chun'e Zhao, Yuhua Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2021

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、周期 $pq$ のバランスの取れたWhiteman一般化循環的系列の2進複雑度に対して、非自明な下界を確立し、それが $pq - p - q - 1$ 以上であることを示している。この値は周期の半分を超えており、適切なパラメータ条件下では最大である。手法は、系列から導かれる巡回行列の行列式を計算し、$2^N - 1$ との最大公約数を解析することで、有理近似アルゴリズム（RAA）に対する耐性を証明するものである。

ABSTRACT

In this paper, the 2-adic complexity of a class of balanced Whiteman generalized cyclotomic sequences of period $pq$ is considered. Through calculating the determinant of the circulant matrix constructed by one of these sequences, we derive a lower bound on the 2-adic complexity of the corresponding sequence, which further expands our previous work (Zhao C, Sun Y and Yan T. Study on 2-adic complexity of a class of balanced generalized cyclotomic sequences. Journal of Cryptologic Research,6(4):455-462, 2019). The result shows that the 2-adic complexity of this class of sequences is large enough to resist the attack of the rational approximation algorithm(RAA) for feedback with carry shift registers(FCSRs), i.e., it is in fact lower bounded by $pq-p-q-1$, which is far larger than one half of the period of the sequences. Particularly, the 2-adic complexity is maximal if suitable parameters are chosen.

研究の動機と目的

• 周期 $pq$ のバランスの取れたWhiteman一般化循環的系列の2進複雑度を、高い線形複雑度を持つものとして分析すること。
• これらの系列が、低2進複雑度の系列を解読するために用いられる有理近似アルゴリズム（RAA）に対して、依然として安全であるかどうかを特定すること。
• 巡回行列の行列式解析を用いて、2進複雑度のより鋭い下界を提供することで、既存の研究を拡張すること。
• 2進複雑度が最大値に達する条件を調査すること。

提案手法

• 周期 $N = pq$ のバイナリ系列から巡回行列 $A$ を構築する。
• 2進複雑度を評価するための主要な要素として、$A$ の行列式 $\mathrm{det}(A)$ を計算する。
• $\gcd(\mathrm{det}(A), 2^N - 1)$ を解析し、$\varphi_2(s) = \lfloor \log_2(n+1) \rfloor$ という式を用いて2進複雑度を評価する。ここで $n$ は $S(2)/(2^N - 1)$ を既約分数にした際の分母である。
• 法 $p$ および $q$ におけるガウス周期と循環的類の性質を用いて、$\mathrm{det}(A)$ 及び $\mathrm{det}(A)$ と $2^N - 1$ の最大公約数の代数的表現を導出する。
• 乗法的位数 $\mathrm{Ord}_r(2)$ および $2^N - 1$ の素因数分解を用いた数論的技法を適用し、$2^N - 1$ のすべての素因数 $r$ に対して最大公約数を評価する。
• 適切なパrameter条件の下で $\gcd(\mathrm{det}(A), 2^N - 1) = 1$ を証明し、これにより2進複雑度が最大値 $\varphi_2(s) = N$ に達することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期 $pq$ のバランスの取れたWhiteman一般化循環的系列の2進複雑度は何か？
• RQ2 2進複雑度が周期の半分を超える下界で抑えられることで、RAAに対する耐性が保証されるか？
• RQ3 これらの系列の2進複雑度が最大値に達するのはどのような条件下か？
• RQ4 系列から構築された巡回行列の行列式は、その2進複雑度とどのように関係しているか？

主な発見

• 調査対象となったバランスの取れたWhiteman一般化循環的系列の2進複雑度は、下界 $pq - p - q - 1$ を有しており、周期 $N = pq$ の半分を著しく上回る。
• 特定のパrameter選択、たとえば $p \equiv 1 \pmod{4}$、$q \equiv 3 \pmod{4}$、$q - p = 2$ の下で、2進複雑度は最大値 $\varphi_2(s) = N$ に達する。
• 適切な条件下で、巡回行列から導かれる行列式の最大公約数が $\gcd(\mathrm{det}(A), 2^N - 1) = 1$ を満たすため、2進複雑度が最大値に達することが示唆される。
• Mathematica や MATLAB を用いた数値的検証により、すべてのテストケース $(p,q) = (5,3), (5,7), (5,11), (13,11), (17,11), \dots$ において、正確な2進複雑度が上限値 $N$ と一致することが確認され、最大値が普遍的に成り立つ可能性が示唆された。
• この結果により、これらの系列が有理近似アルゴリズム（RAA）に対して安全であることが確認された。なぜなら、2進複雑度が安全を保証するための閾値 $N/2$ を大きく上回っているからである。
• 著者らは、有効なパrameterペアすべてに対して2進複雑度が最大であると予想しているが、一般の証明は未解決のままである。