[論文レビュー] Further results on the structure of (co)ends in finite tensor categories

Kenichi Shimizu|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限テンソル圏における(co)endを分析する一般枠組みを確立する。作用関手 ρ: C → Rex(M) に右随伴関手 ρ^ra を導入し、内部自己関手を含む終域を用いてその表現を与える。主な貢献は、Ext^•_C(1, ρ^ra(id_M)) がMのホッフホワイトコホモロジーと同型であることを示し、モジュラーテンソル圏においてこのコホモロジーにSL₂(ℤ)の射影的作用が存在することを導く。

ABSTRACT

Let $\mathcal{C}$ be a finite tensor category, and let $\mathcal{M}$ be an exact left $\mathcal{C}$-module category. The action of $\mathcal{C}$ on $\mathcal{M}$ induces a functor $ρ: \mathcal{C} o \mathrm{Rex}(\mathcal{M})$, where $\mathrm{Rex}(\mathcal{M})$ is the category of $k$-linear right exact endofunctors on $\mathcal{M}$. Our key observation is that $ρ$ has a right adjoint $ρ^{\mathrm{ra}}$ given by the end $ρ^{\mathrm{ra}}(F) = \int_{M \in \mathcal{M}} \underline{\mathrm{Hom}}(M, M)$. As an application, we establish the following results: (1) We give a description of the composition of the induction functor $\mathcal{C}_{\mathcal{M}}^* o \mathcal{Z}(\mathcal{C}_{\mathcal{M}}^*)$ and Schauenburg's equivalence $\mathcal{Z}(\mathcal{C}_{\mathcal{M}}^*) \approx \mathcal{Z}(\mathcal{C})$. (2) We introduce the space $\mathrm{CF}(\mathcal{M})$ of `class functions' of $\mathcal{M}$ and initiate the character theory for pivotal module categories. (3) We introduce a filtration for $\mathrm{CF}(\mathcal{M})$ and discuss its relation with some ring-theoretic notions, such as the Reynolds ideal and its generalizations. (4) We show that $\mathrm{Ext}_{\mathcal{C}}^{\bullet}(1, ρ^{\mathrm{ra}}(\mathrm{id}_{\mathcal{M}}))$ is isomorphic to the Hochschild cohomology of $\mathcal{M}$. As an application, we show that the modular group acts projectively on the Hochschild cohomology of a modular tensor category.

研究の動機と目的

• カテゴリカル随伴を用いて、有限テンソル圏における(co)endを分析する一般枠組みを構築すること。
• 誘導関手とシュアウエンブルクの同型の合成を、右随伴 ρ^ra を用いて記述すること。
• 空間 CF(M) を用いて、ピボタルモジュール圏における特徴理論を開始すること。
• CF(M) のフィルトレーションを、リーマンの理想のような環論的概念と関連付けること。
• Ext^•_C(1, ρ^ra(id_M)) とMのホッフホワイトコホモロジーとの同型を確立し、モジュラー群作用を導出すること。

提案手法

• 有限テンソル圏Cと厳密左C-モジュール圏Mに対して、作用関手 ρ: C → Rex(M) を定義する。
• ρが右随伴 ρ^ra を持ち、F ∈ Rex(M) に対して ρ^ra(F) = ∫_{M∈M} Hom(M, F(M)) で明示的に与えられることを示す。
• M が非可約かつ厳密であるとき、ρ^ra がk線形、忠実かつ厳密な関手であることを証明する。
• 終域の普遍双自然変換を用いて、ρ^ra にモノイダル構造および双モジュール構造を与える。
• ρ^ra の構造を用いて、圏論的構成を上げ、既知の不変量（終域Aと余終域L）と関連付ける。
• この枠組みを応用して、Ext群とホッフホワイトコホモロジーの同型を導出し、モジュラー群作用を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用関手 ρ: C → Rex(M) の右随伴は、カテゴリカルな終域を用いてどのように明示的に記述できるか？
• RQ2 ρ^ra は、双対圏の中心における誘導関手 C^*_M → Z(C^*_M) とシュアウエンブルクの同型 Z(C^*_M) ≈ Z(C) の合成を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ3 ピボタルモジュール圏において、空間 CF(M) は単純対象の特徴とどのように関係するか？
• RQ4 CF(M) におけるフィルトレーションの意味は何か？また、Ext^1(M,M) およびリーマンの理想とどのように関連するか？
• RQ5 Ext^•_C(1, ρ^ra(id_M)) とMのホッフホワイトコホモロジーとの同型は、モジュラーテンソル圏においてこのコホモロジーにSL₂(ℤ)の射影的作用を誘導するか？

主な発見

• 右随伴 ρ^ra(F) は明示的に終域 ∫_{M∈M} Hom(M, F(M)) で与えられ、この重要な関手の具体的な表現が得られる。
• 誘導関手 C^*_M → Z(C^*_M) とシュアウエンブルクの同型 Z(C^*_M) ≈ Z(C) の合成が、ρ^ra を用いて明示的に記述できる。
• 空間 CF(M) が導入され、ピボタルなMに対しては CF_1(M) が単純対象の特徴で張られ、CF_2(M) が単純Lに対する Ext^1(L,L) を含む完全列に含まれることが示される。
• CF(M) におけるフィルトレーションが、リーマンの理想およびその一般化と関連していることが示され、特にピボタルの場合に顕著である。
• Ext^•_C(1, ρ^ra(id_M)) がMのホッフホワイトコホモロジーと同型であり、この同型からモジュラーテンソル圏においてSL₂(ℤ)がこのコホモロジーに射影的に作用することが導かれる。