[論文レビュー] Further results on the uniqueness of meromorphic functions and their derivative counterpart sharing one or two sets

Abhijit Banerjee, Bikash Chakraborty|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Meromorphic and Entire Functions参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、重み付き共有理論とネヴァンリンナ値分布論を用いて、メラモーフィック関数とその導関数が1つまたは2つの集合を共有する場合の新たな一意性結果を確立する。Banerjee-Bhattacharjeeの先行研究を改善し、特に高階導関数および多項式の臨界点条件において、重み付きで共有される集合が関数の同一性を示すより厳しい条件を提示する。

ABSTRACT

In this paper we prove a number of results concerning uniqueness of a meromorphic function as well as its derivative sharing one or two sets. In particular, we deal with the specific question raised in [18], [19], [20] and ultimately improve the result of Banerjee-Bhattacharjee [4].

研究の動機と目的

• 先行研究で提起された、メラモーフィック関数とその導関数が集合を共有する場合の不変性に関する未解決問題を解消すること。
• 一意的範囲集合（URSM）およびURSM-IMの概念を、重み付き共有および導関数条件を含む形に拡張・精緻化すること。
• Banerjee-Bhattacharjeeの結果を改善し、共有集合の基数および導関数の順序に関する既存の境界を、より厳しい条件で明確化すること。
• 多項式として用いられる臨界点の単射性が、メラモーフィック関数の不変性ツールとして果たす役割を調査すること。
• 共有集合（重複度または重み付きで）が、2つのメラモーフィック関数が恒等的に等しくなるための十分条件を確立すること。

提案手法

• Lahiriによって導入された重み付き共有理論を用いて、値の共有条件を緩和し、パrameter $k$ を用いた重複度の制御を可能にする。
• ネヴァンリンナ理論の第二基本定理を適用し、共有値の数え上げ関数およびその欠損度を推定する。
• 共有集合の構造を分析するため、補助関数 $H = (F - 1)(G - 1)$ を導入する。ここで $F = (f^{(k)})^n$ および $G = (g^{(k)})^n$ である。
• 共有値間の重複度の差を扱うために、簡略化された数え上げ関数 $\overline{N}_*(r, a; f, g)$ を導入する。
• 計数関数と $T(r, f^{(k)})$, $T(r, g^{(k)})$ を含む不等式を導出し、共有集合に関する仮定が破られる場合に矛盾を導く。
• $H \equiv 0$ またはそれ以外の場合に応じた場合分けを行い、$n$, $m$, $k$, $q$ に関する特定の条件下で $f^{(k)} \equiv g^{(k)}$ が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メラモーフィック関数とその $k$ 階導関数が重み $k$ を持つ集合を共有する場合、どのような条件下で関数が同一になるか？
• RQ2 共有集合に導関数情報が含まれる場合、Banerjee-Bhattacharjeeの不変性結果はどのように改善できるか？
• RQ3 多項式 $P(z)$ の臨界点単射性が、メラモーフィック関数の不変範囲集合を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 共有集合の基数 $n$ と共有零点の重複度 $q$ が、不変性条件に与える影響は何か？
• RQ5 重み付き重複度で共有される集合を持つ場合、$f^{(k)} \equiv g^{(k)}$ を満たす条件を緩和または鋭くできるか？

主な発見

• 本稿では、$f$ と $g$ が非定数のメラモーフィック関数であり、重み $q$ を持つ集合 $\{0, \infty\}$ を共有し、$k$ 階導関数が特定の計数関数不等式を満たす場合、$n \geq 4m + 2$ のとき $f^{(k)} \equiv g^{(k)}$ が成り立つことを証明している。
• $H \not\equiv 0$ の場合、$n > 2m + 7 + \frac{7}{k+1}$ であると矛盾が生じ、共有集合の大きさに対する新たな上限が得られる。
• $H \equiv 0$ の場合、$n \geq 4m + 2$ の条件下で $f^{(k)} \equiv g^{(k)}$ が成立し、以前の結果よりも閾値が向上している。
• 重み付き共有を導入することで結果が鋭くされ、$l \geq \frac{3}{2} + \frac{2}{n-2m-1} + \frac{1}{(n-2m)q + n - 2m - 1}$ のとき、不等式が $n > 2m + \frac{4}{k+1} + \frac{4}{(k+1)(n-2m-1)} + \frac{2}{(k+1)((n-2m)q + n - 2m - 1)}$ で矛盾を引き起こす。
• 与えられた仮定のもとで、不変性条件が最適であることが確認されており、特に多項式 $P(z)$ が臨界点単射性を満たす場合に顕著である。
• 本研究は、$\overline{N}_*(r,1;F,G)$ および $\overline{N}_L(r,a;f)$ の使用により、重複度の差をより厳密に制御でき、より強い不変性定理が得られることを示している。