[論文レビュー] Fusion and braiding in finite and affine Temperley-Lieb categories

Azat M. Gainutdinov, Hubert Saleur|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、有限およびアフィン・テンパーリー–リーブ代数から、idempotent部分代数を用いて無限のアーキテイザー・カテゴリを構成し、braided monoidal 構造を備えた直接極限カテゴリを確立する。有限TL代数を単位根において考察すると、バーリンガー代数表現に関連する新しい非可換 braided monoidal カテゴリが明らかになる。一方、アフィンTL代数では、安定なN-次数付き結合積を導入し、結合則とbraidingを証明することで、連続極限における対数的 conformal field theories との深い関係を示唆する。

ABSTRACT

Finite Temperley-Lieb (TL) algebras are diagram-algebra quotients of (the group algebra of) the famous Artin's braid group $B_N$, while the affine TL algebras arise as diagram algebras from a generalized version of the braid group. We study asymptotic `$N o\infty$' representation theory of these quotients (parametrized by $q\in\mathbb{C}^{ imes}$) from a perspective of braided monoidal categories. Using certain idempotent subalgebras in the finite and affine algebras, we construct infinite `arc' towers of the diagram algebras and the corresponding direct system of representation categories, with terms labeled by $N\in\mathbb{N}$. The corresponding direct-limit category is our main object of studies. For the case of the finite TL algebras, we prove that the direct-limit category is abelian and highest-weight at any $q$ and endowed with braided monoidal structure. The most interesting result is when $q$ is a root of unity where the representation theory is non-semisimple. The resulting braided monoidal categories we obtain at different roots of unity are new and interestingly they are not rigid. We observe then a fundamental relation of these categories to a certain representation category of the Virasoro algebra and give a conjecture on the existence of a braided monoidal equivalence between the categories. This should have powerful applications to the study of the `continuum' limit of critical statistical mechanics systems based on the TL algebra. We also introduce a novel class of embeddings for the affine Temperley-Lieb algebras and related new concept of fusion or bilinear $\mathbb{N}$-graded tensor product of modules for these algebras. We prove that the fusion rules are stable with the index $N$ of the tower and prove that the corresponding direct-limit category is endowed with an associative tensor product. We also study the braiding properties of this affine TL fusion.

研究の動機と目的

• N → ∞ の漸近的表現論を、表現カテゴリの直接系を用いて有限およびアフィン・テンパーリー–リーブ代数に対して展開すること。
• idempotent部分代数を用いて無限のアーキテイザー・カテゴリを構成し、braided monoidal 構造を備えた直接極限カテゴリを形成すること。
• 単位根における有限TL代数の表現論を研究し、非半単純的かつ非可換な braided monoidal カテゴリを明らかにすること。
• アフィンTL代数に対して、新たなN-次数付き結合積（双線形テンソル積）を定義し、安定性および結合則を証明すること。
• 得られたカテゴリと特定のバーリンガー代数表現カテゴリとの間で、braided monoidal 同値性が成り立つと予想し、臨界格子モデルの連続極限に関連する意義を示すこと。

提案手法

• 特定のidempotent部分代数を用いて、有限およびアフィン・テナパーリー–リーブ代数から無限のアーキテイザー図を構成する。
• N ∈ ℕ でラベル付けられた表現カテゴリの直接系を定義し、各代数タイプに対して直接極限カテゴリを導く。
• 誘導函手 FN: TLN-mod → TLN+2-mod を通じてテンソル積を定義し、標準的および射影的モジュールを保存する。
• 五角形および六角形の恒等式を満たす結合子およびbraidingを確立し、直接極限カテゴリがbraided monoidal カテゴリであることを証明する。
• アフィンTL代数に対して、アフィンヘッケ代数からの誘導モジュールを用いて定義される新しい結合積を導入し、Nに関して安定であることを示す。
• アフィンヘッケ生成子の行列表現を用いて結合則を計算し、代数的関係から得られるイデアルが結合結果を決定することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N → ∞ のとき、有限テンパーリー–リーブ代数の直接極限カテゴリの構造は何か？ そしてそれはbraided monoidal であるか？
• RQ2 有限TL代数の表現論は単位根においてどのように振る舞い、どのような新しいカテゴリが生じるか？
• RQ3 アフィンTL代数に対して安定的かつN-次数付きの結合積を定義できるか？ そしてそれは結合則を満たすか？
• RQ4 得られたbraided monoidal カテゴリとバーリンガー代数表現との間の関係は何か？
• RQ5 アフィンTLの場合における標準的モジュールの結合は、図式的な結合則と一致するか？ どのような条件下で結合が非ゼロとなるか？

主な発見

• 有限TL代数の直接極限カテゴリは、任意の q ∈ ℂ× においてアーベル的かつ最高重量的であり、braided monoidal 構造を有する。
• 単位根において、得られるbraided monoidal カテゴリは非半単純的かつ非可換的であり、新たな数学的構造を表す。
• 単位根における直接極限カテゴリと特定のバーリンガー代数表現カテゴリとの間で、braided monoidal 同値性が予想される。
• アフィンTL代数に対して、新たなN-次数付き結合積が定義され、Nに関して安定であり、帰納的極限における一貫性を保証する。
• 結合積が結合則を満たし、対応する直接極限カテゴリが結合的テンソル積を備えることが示された。
• アフィンヘッケ代数の表現を用いた明示的計算により、標準的モジュールの結合が、特定のスペクトルパラメータの値でのみ非ゼロであることが確認され、本文の図式的結合則と一致した。