[論文レビュー] Fusion and convolution: applications to affine Kac-Moody algebras at the critical level

Edward Frenkel, Dennis Gaitsgory|ArXiv.org|Nov 11, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、アフィン Kac-Moody代数の臨界レベルにおける表現の導来圏上のハリシュ・チャンドラ畳み込み作用の幾何的実現を、アフィンフラッグ多様体上のDモジュールを用いて確立する。中心的層のこの圏への作用が、チャイナルモジュールのフュージョン積に対応することを証明し、グロテンディークの変形とオペルを用いて、臨界レベル表現の構造に関する主要な予想を検証する。これにより、チャイナル括弧の幾何的構成が得られる。

ABSTRACT

Let g be a semi-simple Lie algebra, and let g^ be the corresponding affine Kac-Moody algebra. Consider the category of g^-modules at the critical level, on which the action of the Iwahori subalgebra integrates to algebraic action of the Iwahori subgroup I. We study the action on this category of the convolution functors with the "central" sheaves on the affine flag scheme G((t))/I. We show that each object of our category is an "eigen-module" with respect to these functors. In order to prove this, we use the fusion product of modules over the affine Kac-Moody algebra.

研究の動機と目的

• アフィン Kac-Moody代数の臨界レベル表現の導来圏上のハリシュ・チャンドラ畳み込み作用の幾何的実現を確立すること。
• 中心的層がこの圏に作用する仕組みが、チャイナルモジュールのフュージョン積に対応することを証明すること。
• I-モノドロミック臨界レベルモジュールの導来圏が、nilpotent opers 上に台を持つ場合、グロテンディークの変形を含むあるスキーム上の準同型の導来圏と同値であるという予想を検証すること。
• ジャーチとメロモーフィック・ジャーチを用いた、ループ群上の微分作用素のチャイナル代数におけるチャイナル括弧の幾何的記述を提供すること。

提案手法

• アフィンフラッグ多様体 $\operatorname{Fl}_G = G((t))/I$ 上のDモジュールを用いて、$\widehat{\mathfrak{g}}_{\operatorname{crit}}$-モジュールの導来圏上のハリシュ・チャンドラ畳み込み作用を定義する。
• Langlands双対群 $\check{G}$ の表現 $V$ に付随する中心的層 $\mathcal{Z}_V$ を構成し、これはアフィンヘッケ代数の中心的元のカテゴリフィケーションを実現する。
• メロモーフィック・ジャーチ空間 $\operatorname{Jets}^{\operatorname{mer}}(G)_{X^2}$ 上の分布を用いて、チャイナル代数 $\mathfrak{D}_{G,\kappa}$ 上のチャイナル括弧を実現する。
• G((t))-作用を用いて、問題を $G((t))/K$ の単位点のケースに還元し、正規バンドルの計算を単純化する。
• X × X − (Δ_X ⊔ X × x) 上の G-値写像によって誘導される、アフィングラスマンジャン $\operatorname{Gr}_{G,X;K}$ の自己同型の群論的記述を用いる。
• アフィングラスマンジャン $\operatorname{Gr}_{G,X;K}$ 上の垂直ベクトル場が、0に等しいことと、対応する写像が対角に正則に拡張され、K のリー代数に属するテイラー展開を持つこととは同値であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界レベル表現の導来圏上のハリシュ・チャンドラ畳み込み作用は、どのように幾何的に実現できるか？
• RQ2 中心的層の作用とチャイナルモジュールのフュージョン積との間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 I-モノドロミック臨界レベルモジュールの導来圏が、nilpotent opers 上に台を持つ場合、グロテンディークの変形を用いて幾何的に記述可能か？
• RQ4 チャイナル代数 $\mathfrak{D}_{G,\kappa}$ 上のチャイナル括弧は、メロモーフィック・ジャーチ空間上の分布としてどのように実現されるか？
• RQ5 X × X − (Δ_X ⊔ X × x) 上の G-値写像が、$\operatorname{Gr}_{G,X;K}$ の単位セクションの自明な変形を誘導するための条件は何か？

主な発見

• 圏 $D^b(\operatorname{D}(\operatorname{Fl}_G)_{\operatorname{crit}}{\text{-mod}})^I$ が $D^b(\widehat{\mathfrak{g}}_{\operatorname{crit}}{\text{-mod}})^I$ 上に作用する仕組みは、ハリシュ・チャンドラ畳み込みにより実現され、中心的層 $\mathcal{Z}_V$ はフュージョン関手として作用する。
• チャイナル代数 $\mathfrak{D}_{G,\kappa}$ 上のチャイナル括弧は、$\operatorname{Jets}^{\operatorname{mer}}(G)_{X^2}$ 上の分布によって完全に記述され、チャイナルモジュールのフュージョン積はこの構造を通じて幾何的に実現される。
• $\widehat{\mathfrak{g}}_{\operatorname{crit}}{\text{-mod}}_{\operatorname{nilp}}^{I,m}$ の導来圏は、$\widetilde{\check{\mathfrak{g}}}/{\check{G}} \times_{\check{\mathfrak{g}}/{\check{G}}} \operatorname{Op}^{\operatorname{nilp}}_{\check{\mathfrak{g}}}$ 上の準同型の導来圏と同値であると予想されており、本論文ではこの同値性への重要なステップを証明する。
• $G$-値写像 $\mathbf{g}(x_1,x_2)$ が、$\operatorname{Gr}_{G,X;K}$ の単位セクションの自明な変形を誘導するための必要十分条件は、対角に正則に拡張され、$x_2 = x$ におけるテイラー展開が $K$ のリー代数に属することである。
• $\operatorname{Gr}_{G,X;K}$ の単位セクションの正規バンドルは、$L_{\mathfrak{g}}|_{X-x}$ と接空間 $T_{\mathbf{g}}(G((t))/K)$ を含む完全系列に含まれ、写像 $L_{\mathfrak{g}}|_{X-x} \to \mathcal{N}_{{\bf 1}_{1,1}(\mathbf{g})}|_{X-x}$ はDモジュールへの写像に拡張可能である。
• $H^0_{\text{DR}}(\mathcal{D}^\times_x, L_{\mathfrak{g}}) \to T_{\mathbf{g}}(G((t))/K)$ の写像は、自然な射影 $\mathfrak{g}((t)) \twoheadrightarrow \mathfrak{g}((t))/\mathfrak{k}$ と同一視され、チャイナル構造と群作用の整合性が確認される。