[論文レビュー] Fusion Category Symmetry I: Anomaly In-Flow and Gapped Phases

Ryan Thorngren, Yifan Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 49被引用数 124

ひとこと要約

本論文は、fusion category 対称性を持つ 1+1D 理論における anomaly in-flow およびギャップ相の分類を、Turaev-Viro/Levin-Wen 境界構成を用いて異常と fiber functor を特徴づける。

ABSTRACT

We study generalized discrete symmetries of quantum field theories in 1+1D generated by topological defect lines with no inverse. In particular, we describe 't Hooft anomalies and classify gapped phases stabilized by these symmetries, including new 1+1D topological phases. The algebra of these operators is not a group but rather is described by their fusion ring and crossing relations, captured algebraically as a fusion category. Such data defines a Turaev-Viro/Levin-Wen model in 2+1D, while a 1+1D system with this fusion category acting as a global symmetry defines a boundary condition. This is akin to gauging a discrete global symmetry at the boundary of Dijkgraaf-Witten theory. We describe how to "ungauge" the fusion category symmetry in these boundary conditions and separate the symmetry-preserving phases from the symmetry-breaking ones. For Tambara-Yamagami categories and their generalizations, which are associated with Kramers-Wannier-like self-dualities under orbifolding, we develop gauge theoretic techniques which simplify the analysis. We include some examples of CFTs with fusion category symmetry derived from Kramers-Wannier-like dualities as an appetizer for the Part II companion paper.

研究の動機と目的

• 一般化された離散（非可逆）fusion category 対称性と 1+1D でのそれらの異常を動機づける。
• 2+1D Turaev-Viro/Levin-Wen 理論を用いて anomaly in-flow を定義し、RG フローと境界条件を制約する。
• 対称性を保持するギャップ相を分類し、それらをモジュールカテゴリーと fiber functor に関連づける。
• fusion category 対称性における対称性保持と対称性破れの相を区別する基準を提供する。
• Tambara-Yamagami カテゴリと Ising に関連するデュアリティを具体例として本フレームワークを適用する。

提案手法

• fusion category  に関連する Turaev-Viro 理論のギャップ境界条件を記述し、それらを A-対称境界条件として解釈する。
•  上のモジュールカテゴリーを用いて対称性を保持するギャップ相を分類する；ファイバー函子を非退化な A-対称相の基準として同定する。
• anomaly-vanishing 条件を確立する：A がファイバー函子を持つ iff ギャップで非退化な A-対称境界が存在する（すなわち対称性のある相）。”
• ファイバー函子を G=Vec_G^ に結びつけ、 coboundary hi を介して反対項を解釈し、標準的な群 cohomology に基づく SPT ロジックに結びつける。
• 本フレームワークと異常を示すために Tambara-Yamagami カテゴリと Ising ベースのデュアリティを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1D における fusion category 対称性を捉える適切な境界データ（モジュールカテゴリー）は何か？
• RQ2 fusion category 対称性は 1+1D においてギャップで非退化な、対称性保持相（anomaly-free）を許すのか？
• RQ3 2+1D Turaev-Viro 理論からの anomaly in-flow は fusion category 対称性の下での 1+1D の RG フローをどのように制約するのか？
• RQ4 A-対称ギャップ相とエッジモードの分類におけるファイバー函子の役割は何か？
• RQ5 Tambara-Yamagami カテゴリと Ising/Kramers-Wannier ラインのデュアリティは fusion category 対称性とその異常をどのように実現するのか？

主な発見

• 1+1D における fusion category 対称性は 2+1D Turaev-Viro 理論の境界条件として実現され、対称性保持ギャップ相はその fusion category のモジュールカテゴリーに対応する。
• anomaly-vanishing 条件が確立される：fusion category がファイバー函子を持つときのみ、ギャップで非退化な A-対称境界（すなわち対称性のある相）が存在する。
• もし fusion category が非整数量子次元を持つ任意の対象を含む場合、関連する Turaev-Viro 理論はギャップで非退化な A-対称境界を持つことができない。
• ファイバー函子（同値的には、1 つの簡単な対象を持つモジュールカテゴリー）は A-対称の非退化ギャップ相（A-SPTs）を分類し、エッジモード構造を決定する。
• Vec_G^ に対して、ファイバー函子は delta chi = - omega を満たす群コホモロジデータに対応し、標準的な SPT の異常制約と結びつく。
• Tambara-Yamagami カテゴリと有限ゲージ理論の例を発展させて、 anomaly in-flow と相分類を具体的に示す。