[論文レビュー] Fusion of Superalgebras and D=3, N=4 Quiver Gauge Theories

Famin Chen, Yong-Shi Wu|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、共通するボソン的因子（たとえば共通の単純リー群やU(1)因子）を共有する2つの超代数を統合する新しい「融合」手順を導入する。この手順により、閉じた超代数が得られ、D=3, N=4クオーバーゲージ理論の構築が可能になる。この方法により、二重のグラード付き交換子を介して非自明な3-bracketが得られ、既知の二重シンプレクティック3代数構造を一般化し、同じ融合超代数から複数の異なるゲージ群が生じうることを示している。

ABSTRACT

For further investigating the underlying structures of the D=3, N=4 Chern-Simons-matter (CSM) theories, we suggest a new concept and procedure for "fusing" two superalgebras into a single new superalgebra. The starting superalgebras may be those used in the previous construction of the double-symplectic 3-algebras in the N=4 CSM theories: The bosonic parts of these two superalgebras share at least one simple factor or U(1) factor. We are able to provide two different methods to do the "fusion". Several explicit examples are presented to demonstrate the "fusion" procedure. We also generalize the "fusion" procedure so that more than two superaglebras can be fused into a single one, provided some conditions are satisfied. It is shown that two or more N=4 theories with different gauge groups may be associated with the same "fused" superalgebra.

研究の動機と目的

• 2つの超代数のボソン的部品が少なくとも1つの単純因子またはU(1)因子を共有する場合に、それらを1つの閉じた超代数に融合する体系的な手法を開発すること。
• 標準的なリー代数の代わりに融合超代数を用いて、D=3, N=4のチェーン＝シモンズ・マター理論の構成を一般化すること。
• 同じ融合超代数から異なるゲージ群を持つ複数の異なるN=4クオーバーゲージ理論が関連付けられることを示すこと。
• 融合手順の明示的例を提示し、得られた超代数がグラード交換子の下で閉じていることを検証すること。
• このような融合超代数の数学的・物理的意味を、N=4 CSM理論の分類に向けたものとして探求すること。

提案手法

• ボソン的部品に共通する単純因子またはU(1)因子を有する2つの超代数GとG′を融合する手順であり、ねじれとねじれなしの multiplet 間の非自明な相互作用を保証する。
• 2通りの異なる方法が提案され、両方とも超代数のフェルミオン的生成子を二重シンプレクティック3代数の生成子と特定することに依存する。
• 得られた理論の3-bracketは二重グラード交換子を介して構成される: [T_a, T_b; T_{c'}] ≡ [[Q_a, Q_b], Q_{c'}] および [T_{a'}, T_{b'}; T_c] ≡ [[Q_{a'}, Q_{b'}], Q_c]。
• これらの3-bracketが非ゼロであることは、{Q_a, Q_{c'}} ≠ 0 であることを要請することで保証され、これはヤコビ恒等式と整合的である。
• 融合超代数の共通ボソン的部分代数に適切な適合性条件が満たされる場合、2つ以上の超代数の融合が一般化可能である。
• U(M|N)およびOSp(M|2N)超代数を用いた明示的例が構成され、特定の行列表現を通じて生成子が3代数生成子に写像される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボソン的部品が重複する2つの超代数を、D=3, N=4理論において非自明な3-bracketを有する1つの閉じた超代数に融合できるか？
• RQ2 2つ以上の超代数を融合して一貫性があり閉じた超代数構造を得るための条件は何か？
• RQ3 この融合手順は、N=4チェーン＝シモンズ・マター理論における二重シンプレクティック3代数の構成とどのように関係するか？
• RQ4 同じ融合超代数から異なるゲージ群を持つ複数の異なるN=4クオーバーゲージ理論を統一的に扱えるか？
• RQ5 このような融合超代数の数学的分類と構造は何か？また、既知の超代数構成をどのように拡張するか？

主な発見

• 共通するボソン的因子を有する2つの超代数から、融合手順により閉じた超代数が成功裏に構成され、これにより新しいD=3, N=4クオーバーゲージ理論の構築が可能になった。
• 非自明な3-bracketは二重グラード交換子を介して生成され、ねじれとねじれなしの multiplet 間の物理的相互作用を保証する。
• {Q_a, Q_{c'}} ≠ 0 であることが、ヤコビ恒等式を満たし、3-bracketの自明性を避けるために必要不可欠である。
• 同じ融合超代数から異なるゲージ群を持つ複数の異なるN=4ゲージ理論が関連付けられ、超代数からゲージ理論への写像が一意でないことを示している。
• ボソン的部品に適合性条件（共通の単純因子またはU(1)因子）が満たされる場合、2つ以上の超代数の融合が一般化可能である。
• U(M|N)およびOSp(M|2N)超代数を用いた明示的例により、融合超代数構造の整合性と閉じ性が確認された。