[論文レビュー] Fusion rules for $\mathbb{Z}_{2}$-orbifolds of affine and parafermion vertex operator algebras

Cuipo Jiang, Qing Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、パラフェルミオン頂点 operator 代数 $K(sl_2,k)$ 及びそのアフィン版 $L({sl}_2,k)$ の $Z_2$-オルビフォールドの結合則を完全に特定する。オルビフォールドされたアフィン代数の既約モジュールを分類し、$\triangle$-作用素を用いた相互作用作用素を用いることで、明示的な結合則と量子次元が導かれる。すべての既約 $K_0^\sigma$-モジュールが自己双対であることが証明される。主な結果は、この文脈における $Z_2$-オルビフォールドの結合則の完全な代数的分類である。

ABSTRACT

This paper is about the orbifold theory of affine and parafermion vertex operator algebras. It is known that the parafermion vertex operator algebra $K(sl_2,k)$ associated to the integrable highest weight modules for the affine Kac-Moody algebra $A_1^{(1)}$ is the building block of the general parafermion vertex operator $K(\mathfrak{g},k)$ for any finite dimensional simple Lie algebra $\mathfrak{g}$ and any positive integer $k$. We first classify the irreducible modules of $\mathbb{Z}_{2}$-orbifold of the simple affine vertex operator algebra of type $A_1^{(1)}$ and determine their fusion rules. Then we study the representations of the $\mathbb{Z}_{2}$-orbifold of the parafermion vertex operator algebra $K(sl_2,k)$, we give the quantum dimensions, and more technically, fusion rules for the $\mathbb{Z}_{2}$-orbifold of the parafermion vertex operator algebra $K(sl_2,k)$ are completely determined.

研究の動機と目的

• 単純なアフィン頂点 operator 代数 $L(\r{sl}_2,k,0)$ の $\r Z_2$-オルビフォールドの既約モジュールを分類し、結合則を特定すること。
• パラフェルミオン頂点 operator 代数 $K_0^\sigma = K(sl_2,k)^\sigma$ の表現論を研究すること。
• モジュール分解および格子実現を用いて、$K_0^\sigma$ の量子次元を計算し、結合則を完全に特定すること。
• すべての既約 $K_0^\sigma$-モジュールが自己双対であることを証明し、重要な構造的性質を確立すること。

提案手法

• $\r Z_2$-オルビフォールド理論を用いて、$L(k,0)^\sigma$ の既約モジュールを非ねじれ型とねじれ型に分類する。
• $\r\triangle$-作用素（Li によるもの）を用いて、非ねじれ型とねじれ型の $L(k,0)$-モジュール間の相互作用作用素を構成する。
• 結合則の対称性を活用し、計算を二つの主要な結合積に簡略化する：非ねじれ–非ねじれおよび非ねじれ–ねじれ。
• 格子実現と最低重量分解を用いて、$K_0^\sigma$-モジュールを分析する。
• $L(k,i)$ を $L(k,0)$ の部分代数である格子頂点 operator 代数 $V_{\mathbb{Z}\gamma} \subseteq L(k,0)$ 上のモジュールとして分解することにより、結合則を研究する。
• 量子次元と自己双対性の議論を用いて、同値でないモジュールを区別し、結合則の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン頂点 operator 代数 $L(\r{sl}_2,k,0)$ の $\r Z_2$-オルビフォールドの既約モジュールは何か？
• RQ2 $\r Z_2$-オルビフォールドのパラフェルミオン頂点 operator 代数 $K_0^\sigma$ の結合則を完全に特定できるか？
• RQ3 既約 $K_0^\sigma$-モジュールの量子次元は何か？ そしてそれらは結合則にどのように制約を加えるか？
• RQ4 すべての既約 $K_0^\sigma$-モジュールが自己双対であるか？ その構造的性質は何か？

主な発見

• $L(k,0)^\sigma$ の既約モジュールは、$L(k,0)$-モジュールおよび $\r Z_2$-ねじれ $L(k,0)$-モジュールに由来する非ねじれ型とねじれ型の二種類に分類される。
• $\r\triangle$-作用素と結合則の対称性を用いて $L(k,0)^\sigma$ の結合則が完全に特定され、二つの基本的結合積に簡略化される。
• $K_0^\sigma$ 内の $(M^{k/2,0})^+$ の量子次元は $\frac{\sqrt{k}}{2} \cdot \left(\frac{\sin \frac{\pi(k/2+1)}{k+2}}{\sin \frac{\pi}{k+2}}\right)^2$ であり、重要な不変量を提供する。
• 最低重量の一致と対対応モジュール構造の確認により、すべての既約 $K_0^\sigma$-モジュールが自己双対であることが確認された。
• $k=4$ の場合、オルビフォールド $K_0^\sigma$ は $\langle\alpha,\alpha\rangle=24$ を満たす $V_{\mathbb{Z}\alpha}^+$ に同型であり、$V_L^+$ オルビフォールドの既知の結果と一致する。
• 結合積 $(M^{k/2,0})^+ \boxtimes W(k,k/2)^+ = (M^{k/2,0})^+ \boxtimes \widetilde{W(k,k/2)}^+$ が明示的に計算され、モジュール分解を用いて検証された。