[論文レビュー] Future complete Einsteinian space times with U(1) symmetry, the unpolarized case

Yvonne Choquet–Bruhat|ArXiv.org|May 15, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$M = S^1 \times \Sigma$ 上の $\Sigma$ を滑らかで向き付け可能な genus 1 より大きい閉じた曲面とする U(1) 対称なアインシュタイン時空の、極化条件を仮定せずに全時空における存在性と未来因果的完全性を確立する。場の運動方程式を 2+1 時空重力と結合した波マップに還元し、$\Sigma$ 上のラプラシアンの最小固有値の漸近的挙動に敏感な補正エネルギー関数を構成することで、解がすべての未来時刻に存在し、普遍的または固有値依存の減衰率を示すことが証明された。時空計量は拡張極限において平坦形に漸近的に近づく。

ABSTRACT

I prove the existence of vacuum $S^{1}$ symmetric Einsteinian, unpolarized, space times which are complete in the direction of the expansion, for small initial data, without supposing that the $S^{1}$ orbits are orthogonal to the 3-manifolds, as was done in previous work in collaboration with V. Moncrief.

研究の動機と目的

• 極化条件を仮定しない非極化 U(1) 対称時空における非線形安定性結果を、極化条件を除去することで非極化系に拡張すること。
• 基底曲面 $\Sigma$ の共形幾何に制限を設けない一般初期データのもとで、現在は非線形波マップと 2+1 時空重力が結合した削減された場の運動方程式の力学を解析すること。
• 時空の重力自由度の減衰率に影響を与える、$\Sigma$ 上のラプラシアンの時間変動的スペクトルギャップを考慮する高次エネルギー関数を構成すること。
• 初期データが小さい非極化設定において、解の全時空的および因果的未来地平線完全性を確立すること。

提案手法

• 4次元真空中のアインシュタイン方程式を、$\Sigma \times \mathbb{R}$ から双曲平面への波マップに還元し、計量 $^{(3)}g$ が波マップによって駆動される 2+1 時空アインシュタイン方程式を満たすようにする。
• ねじれポテンシャル $\omega$ と共形因子 $\gamma$ を用いてキリング場のノルムと電磁気的性質の場をパrametrizeし、波マップのターゲット空間を形成する。
• $\Sigma$ 上の最小非ゼロ固有値の漸近的値に依存する補正エネルギー関数を導入し、非一様な減衰に対してもソボレフノルムを制御する。
• ラップス、シフト、共形因子について各 $\Sigma_t$ 上の楕円型系に 2+1 時空アインシュタイン方程式を還元するためのゲージ固定手続きを採用し、テイヒミュラーパラメータについての常微分方程式系を導出する。
• ソボレフ埋没とテイヒミュラーパラメータによる共形幾何制御を用いて、進化過程におけるソボレフ定数の一様有界性を維持する。
• ラップスの有界性と法線的軌道の無限大の固有時間長を用いて、未来方向の時的および光的測地線完全性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極化しない U(1) 対称な真空中のアインシュタイン系は、初期データが小さい場合に未来完全な解をもつか？
• RQ2 基底曲面 $\Sigma$ 上のラプラシアンのスペクトルギャップに依存する、重力自由度の漸近的減衰率はどのように変化するか？
• RQ3 $\Sigma$ の共形幾何に制限を設けない非極化系において、全時空的および因果的完全性を確立できるか？
• RQ4 削減された場の運動方程式における電気的性質の場の調和成分の役割は何か？また、それが非ゼロの場合でも波マップ形式を保てるか？

主な発見

• 時空は全時空的であり、すべての法線的軌道が無限大の固有時間長を持つため、未来方向に時的および光的測地線完全である。
• 波マップ場とテイヒミュラーパラメータは、共形スケーリングの下で円形ファイバーが長さゼロに収束するように進化するが、共形 2 次元幾何は良好に保たれる。
• 全エネルギーは一様に有界であり、$(\gamma, \omega)$ の $H_2$ ノルムおよび $(\partial_t\gamma, \partial_t\omega)$ の $H_1$ ノルムは時間に一様に有界である。
• 計量は漸近的に平坦形に近づく：${}^{(4)}g \to -4dt^2 + 2t^2\sigma_\infty + e^{2\gamma_\infty}(dx^3 + H_\infty)^2$、ここで $\sigma_\infty$ はスカラー曲率 $-1$ を持ち、$H_\infty$ は $\Sigma$ 上の調和 1 形式である。
• ラプラシアンの最小非ゼロ固有値が $(0, \frac{1}{8}]$ のギャップを避ける場合、エネルギーの減衰率は普遍的である。そうでない場合、減衰率はこの固有値の漸近的値に依存する。
• ラップス $N$ は $C^0$ ノルムで 2 に、シフト $\nu$ は 0 に近づき、$\gamma$ は分布的に定数 $\gamma_\infty$ に収束し、$\omega$ は定数 $\omega_\infty$ に収束する。これは拡張方向における漸近的平坦性を示唆する。