[論文レビュー] Fuzzy Abel Grassmann's Groupoids

Madad Khan, Muhammad Nouman Aslam Khan|ArXiv.org|Apr 1, 2009

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、アーベル・グラスマン群卓（AG群卓）におけるファジィイデアルを導入し、調査することで、ファジィ左イデアル、内部イデアル、およびバイイデアルの基礎的性質を確立する。ファジィ左イデアルの集合が可換モノイドをなすことを証明し、完全ファジィ素および準素AG群卓が半帯的かつ冪等的構造を示すことを示し、左単位元の条件下でファジィ半素イデアルと冪等的ファジィ左イデアルの間の重要な同値関係を提示する。

ABSTRACT

In the present paper we have studied the concept of fuzzification in AG-groupoids. The equivalent statement for an AG-groupoid to be a commutative semigroup is proved. Fuzzy points have been defined in an AG-groupoid and has been shown the representation of smallest fuzzy left ideal generated by a fuzzy point. The set of all fuzzy left ideals, which are idempotents, forms a commutative monoid. The relation of fuzzy left(right) ideals, fuzzy interior ideals and fuzzy bi-ideals in AG-groupoid has been studied. Necessary and sufficient condition of fully fuzzy prime AG-groupoid has been shown. Further, It has been shown that the set of fuzzy quasi-prime ideals of AG-groupoid with left identity forms a semillattice structure. Moreover, equivalent statements for fuzzy semiprime left ideal in an AG-groupoid have been proved.

研究の動機と目的

• AG群卓におけるファジィ化の研究を通じて、非可換代数的構造へのファジィ集合論の拡張を図ること。
• ファジィ点によって生成されるファジィ左イデアルの特徴付けとその代数的性質の分析。
• AG群卓におけるファジィ左イデアル、内部イデアル、およびバイイデアルの間の相互関係の調査。
• 完全ファジィ素および準素AG群卓であるための必要十分条件の確立。
• 特に可換モノイドおよび半帯的構造の形成を含む、ファジィイデアルの代数的構造の探求。

提案手法

• AG群卓におけるファジィ点の定義と、そのような点によって生成される最小のファジィ左イデアルの構成。
• 因数分解 $ x = yz $ を用いたファジィ部分集合上の積演算 $ f \circ g $ の導入：$ (f \circ g)(x) = \bigvee_{x=yz} \{ f(y) \wedge g(z) \} $。
• $(F(S), \circ)$ がAG群卓をなし、中間法則および左反転法則を満たすことを証明する。
• 左単位元の性質を用いて、ファジィ積における可換に似た振る舞いを導出する。例えば $ f \circ (g \circ h) = g \circ (f \circ h) $ が成り立つ。
• ファジィイデアルの積および共通部分集合の代数的変形を通じて、冪等性および半素条件を確立する。
• ラティス理論的概念を適用し、ファジィ準素イデアルの集合が共通部分集合および積演算に関して半帯的構造をなすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファジィイデアルの文脈において、AG群卓が可換半群であるための同値条件は何か？
• RQ2 AG群卓において、ファジィ点によって生成される最小のファジィ左イデアルを代数的にどのように表現できるか？
• RQ3 すべてのファジィ左イデアルの集合が可換モノイドをなすための条件は何か？
• RQ4 AG群卓におけるファジィ内部イデアル、ファジィバイイデアル、およびファジィ左イデアルの関係は何か？
• RQ5 完全ファジィ素または準素AG群卓はどのように特徴づけられるか。また、これらの性質は半帯的構造とどのように関係するか？

主な発見

• AG群卓におけるすべてのファジィ左イデアルの集合は、演算 $ \circ $ に関して可換モノイドをなす。このときの単位元は、左単位元において1、それ以外では0をとるファジィ集合である。
• 左単位元をもつAG群卓において、任意の2つのファジィ左イデアル $ f $ と $ g $ に対して、群卓が完全ファジィ準素である限り、$ f \circ g = f \cap g $ が成り立つ。
• 左単位元をもつAG群卓において、すべてのファジィ準素イデアルの集合は、共通部分集合および積演算に関して半帯的構造をなす。
• ファジィ左イデアル $ f $ が半素であることは、$ f^2 \subseteq f $ ならば $ f \subseteq f^2 $ が成り立つことと同値であり、この条件は $ f \circ f = f $ のとき $ f $ が冪等的であることと同値である。
• AG群卓が完全ファジィ素であることは、すべてのファジィイデアルが冪等的であり、かつファジィイデアルが包含関係に関して全順序をなすことに同値である。
• 完全ファジィ準素AG群卓では、すべてのファジィ左イデアルが冪等的であり、積 $ f \circ g $ は $ f \cap g $ に等しい。これは、ファジィイデアル間の強い代数的整合性を示している。