[論文レビュー] Fuzzy CP(n|m) as a quantum superspace

Evgeny Ivanov, Luca Mezincescu+1 more|ArXiv.org|Nov 18, 2003

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 23被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、複素スーパicenspace $\mathbb{C}P^{(n|m)}$ 上に、チェーン＝シモンズ量子力学（CSQM）と呼ばれる量子力学的モデルを提案し、その量子化が非（反）可換な位置演算子を伴ってスーパicenspace のファジー記述を生むことを示している。主な結果として、$\mathbb{C}P^{(1|1)}$ に対して、ファジーネスレベル $2s$ の波動関数は $SU(2|1)$ の縮退的不可約表現を形成し、$SU(2)$ スピン $(s-\frac{1}{2}, s)$ のスーパ Multiplet を実現する。物理的演算子は非（反）可換な代数に従う。

ABSTRACT

The `Chern-Simons Quantum Mechanics' of a particle on CP(n|m) is shown to yield the fuzzy descriptions of these superspaces, for which we construct the non-(anti)commuting position operators. For a particle on the supersphere CP(1|1) = SU(2|1)/U(1|1), the particle's wave-function at fuzziness level 2s is shown to be a degenerate irrep of SU(2|1) describing a supermultiplet of SU(2) spins (s-1\2, s).

研究の動機と目的

• 複素射影スーパicenspace $\mathbb{C}P^{(n|m)}$ のファジー球構成を、チェーン＝シモンズ量子力学（CSQM）を用いて超対称的に拡張すること。
• 位置演算子を非（反）可換に定義し、$\mathbb{C}P^{(n|m)}$ 上に量子スーパicenspace 構造を構築すること。
• $\mathbb{C}P^{(1|1)}$ 上の粒子のヒルベルト空間が、ファジーネスレベル $2s$ で $SU(2|1)$ の縮退的不可約表現を担い、$SU(2)$ スピン $(s-\frac{1}{2}, s)$ のスーパーマルチプレットを実現することを示すこと。

提案手法

• ケーラー構造から導かれるケーラー汎関数とシンプレクティック2形式を用いて、$\mathbb{C}P^{(n|m)}$ 上でのCSQM作用を定式化する。
• 作用を平坦なスーパicenspace の形に似せるために、$Z^M$ から $V^M$ への座標変換を導入し、$L = -is\bar{V}\cdot\dot{V} + c.c.$ の形を得る。
• スケーリング $Z^M = \frac{1}{\sqrt{s}}\mathcal{Z}^M$ を用いて古典的極限をとることで、$\mathbb{C}^{(n|m)}$ の非（反）可換代数を回復する。
• コherent状態表現における微分作用素として、物理的位置演算子 $\hat{\mathcal{Z}}^M$ と $\hat{\bar{\mathcal{Z}}}_M$ を導出する。
• 観測可能演算子の量子代数を、$(2s+1)\times(2s+1)$ 行列の結合代数として特定し、非（反）可換関係 $[\bar{\mathcal{Z}}_M, \mathcal{Z}^N] = 2\delta_M^N$ を得る。
• $SU(2|1)$ におけるヒルベルト空間の表現内容を解析し、レベル $2s$ の波動関数が、スーパーマルチプレット $(s-\frac{1}{2}, s)$ に対応する縮退的不可約表現を形成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$\mathbb{C}P^{(n|m)}$ 上の量子力学的モデルからファジー量子スーパicenspace 構造を導出できるか？
• RQ2 粒子が $\mathbb{C}P^{(n|m)}$ 上に存在する量子理論における位置演算子の代数的構造は何か？
• RQ3 $\mathbb{C}P^{(1|1)}$ 上の粒子のヒルベルト空間が、$SU(2|1)$ の下でどのようにして $SU(2)$ スピン $(s-\frac{1}{2}, s)$ のスーパーマルチプレットを実現するか？
• RQ4 複素構造は量子代数を定義する上で果たす役割は何か？また、なぜ $V^M$ 座標系は正則的でないのか？
• RQ5 $\mathbb{C}P^{(n|m)}$ 上のCSQM作用は、$s \to \infty$ の極限において、$\mathbb{C}^{(n|m)}$ の非（反）可換幾何とどのように関係するか？

主な発見

• CSQM モデルは、非（反）可換な位置演算子を伴うファジー量子スーパicenspace を生成し、有限次元の非可換観測可能演算子代数を実現する。
• $\mathbb{C}P^{(1|1)}$ に対して、ファジーネスレベル $2s$ のヒルベルト空間は、$SU(2|1)$ の縮退的不可約表現を担い、$SU(2)$ スピン $(s-\frac{1}{2}, s)$ のスーパーマルチプレットに対応する。
• 大 $s$ における物理的位置演算子は $[\bar{\mathcal{Z}}_M, \mathcal{Z}^N] = 2\delta_M^N$ を満たし、非（反）可換な $\mathbb{C}^{(n|m)}$ 代数を定義する。
• 波動関数は $\Psi = e^{-\bar{\mathcal{Z}}\cdot\mathcal{Z}} \Phi(\mathcal{Z})$ の coherent 状態の形を取り、$\Phi$ は正則なスーパーポリノミアルである。
• 観測可能演算子の量子代数は、$(2s+1)\times(2s+1)$ 複素行列の結合代数と同型であり、$SU(2)$ スピン内容は $R_s = \mathbf{3} \oplus \cdots \oplus \mathbf{4s+1}$ である。
• このモデルは、計量に依存しないが、複素構造に依存する、非局所的でトポロジカルな量子場理論をターゲット空間上に実現する。この構造は、正則なシンプレクティック微分同相写像によってのみ保存される。