[論文レビュー] Fuzzy functions and an extension of the category L-Top of Chang-Goguen L-topological spaces

Alexander Šostak|ArXiv.org|Apr 10, 2002

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、従来の射を曖昧関数—L-関係 F:X×Y→L として一般化した曖昧関数に置き換えることで、Chang-Goguen L-位相空間のカテゴリを拡張する曖昧カテゴリ 𝒻TOP(L) を導入する。このカテゴリのトップフレーム 𝒻TOP(L) が、曖昧集合カテゴリ 𝒻SET(L)⊤ 上の位相的カテゴリであることが確立され、(α,γ)-完全な曇った関数を介して (α,β)-コンパクト性が保存されることを証明している。これは、位相における古典的コンパクト性保存の拡張である。

ABSTRACT

We study FTOP(L), a fuzzy category with fuzzy functions in the role of morphisms. This category has the same objects as the category L-TOP of Chang-Goguen L-topological spaces,but an essentially wider class of morphisms - so called fuzzy functions introduced earlier in our joint work with U. Hohle and H. Porst.

研究の動機と目的

• Chang-Goguen L-位相空間のカテゴリ L-TOP を、射として曖昧関数を導入することによって拡張すること。
• 曖昧カテゴリ 𝒻TOP(L) が、曖昧集合カテゴリ 𝒻SET(L)⊤ 上の位相的カテゴリであることを確立すること。
• 特に (α,β)-完全な曇った関数の概念を通じて、曇った関数による (α,β)-コンパクト性の保存を調査すること。
• L-値論理と GL-モノイドを用いて、位相における古典的コンパクト性定理を曇った設定に一般化すること。

提案手法

• 曇った関数を、L-関係 F:X×Y→L として定義し、明確関数の一般化とし、所属度とサポート条件 μ(F)=⊤ および σ(F)=⊤ を満たすようにする。
• GL-モノイドと L-値集合の構造を用いて、曇った関数を射として持つ曇ったカテゴリ 𝒻SET(L) を構築する。
• 対象が Chang-Goguen L-位相空間で、射が連続な曇った関数であるような、𝒻SET(L) の部分カテゴリとして 𝒻TOP(L) を定義する。
• トップフレーム 𝒻TOP(L)⊤ を導入し、初期の持ち上げと構造保存を用いて、𝒻SET(L)⊤ 上の位相的カテゴリであることを証明する。
• L-集合の (α,β)-コンパクト性を、閉じた L-集合の族とそのラティス L 内の交わり条件を用いて定義する。
• 点の逆像が (α,β)-コンパクト L-集合であるような、連続的かつ閉じた写像としての (α,β)-完全な曇った関数を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Chang-Goguen L-位相空間のカテゴリ L-TOP は、曇った関数を射としてどのように拡張できるか？
• RQ2 曇ったカテゴリ 𝒻TOP(L) のトップフレームは、曇った集合カテゴリ 𝒻SET(L)⊤ 上の位相的カテゴリであるか？
• RQ3 曇った関数による逆像において、(α,β)-コンパクト性はどのような条件下で保存されるか？
• RQ4 曇った関数と L-値論理を用いて、位相における古典的コンパクト性定理を曇った設定に一般化できるか？

主な発見

• トップフレーム 𝒻TOP(L)⊤ は、𝒻SET(L)⊤ 上の位相的カテゴリである。これは、構造付き族に対して初期の持ち上げが存在することを意味する。
• F:(X,E_X,τ_X)→(Y,E_Y,τ_Y) が (α,γ)-完全な曇った関数で、μ(F)=⊤ および σ(F)=⊤ を満たし、Y が (γ,β)-コンパクトであれば、X は (α,β)-コンパクトである。
• MV-代数 L の場合、L-位相空間の (α,β)-コンパクト性は、閉じた L-集合の族に関する条件として特徴づけられる：すべての有限部分族の交わりが βᶜ 以下でないならば、全族の交わりも αᶜ 以下でない。
• 曇った関数 F による点 y₀∈Y の逆像 F←(y₀) が (α,β)-コンパクトであるための必要十分条件は、F(x,y₀) と閉じた集合の有限部分族に関する和と交わりの含意がすべての有限部分族に対して成り立つことである。
• (α,β)-完全な曇った関数のクラスは、余域から定義域へのコンパクト性の保存を保証する。
• 証明は、MV-代数における対合とデ・モーガン双対性を用いて、コンパクト性条件をラティス論理的含意に翻訳することに依存している。