[論文レビュー] Fuzzy spaces from tensor models, cyclicity condition, and n-ary algebras

Naoki Sasakura|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2012

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ランク3のテンソルモデルが一般化されたエルミート性条件を介して、動的フラット空間を記述する方法を提案している。この条件により、フラット空間の関数代数に巡回的性質が強制される。非結合的であるにもかかわらず、巡回的構造のおかげで、量子力学に類似した力学、n-airy変換による微分同相変換に類似した対称性、およびコンpact化や粗粒化のための体系的切断が可能となり、量子重力や非結合的幾何における場の理論への物理的応用が可能になる。

ABSTRACT

The rank-three tensor models, which have a rank-three tensor as their only dynamical variable, may be interpreted as models of dynamical fuzzy spaces. In this interpretation, the generalized Hermiticity condition on the rank-three tensor leads to a cyclic property of the algebra of functions on fuzzy spaces. The fuzzy spaces with the cyclic property are shown to have various physically interesting characteristics. (i) Although the function algebras of the kind are nonassociative in general, various properties analogous to quantum mechanics hold on the fuzzy spaces. (ii) The symmetry of the rank-three tensor models can be shown to be represented systematically by n-ary transformations on the fuzzy spaces. The transformations contain, for instance, diffeomorphism on fuzzy spaces. (iii) There exists a systematic procedure of truncating the function algebras of the kind, and it can be used to consider subspaces, compactifications, lattice theories, and coarsegraining procedures of fuzzy spaces in physical applications.

研究の動機と目的

• 一般化されたエルミート性条件を介して、ランク3のテンソルモデルと巡回的関数代数を持つフラット空間との対応関係を確立すること。
• 非結合的フラット空間においても、巡回的構造が存在する限り、結合的でないにもかかわらず、一貫した内積や演算子トレースを伴う量子力学的アナログが成立することを示すこと。
• ランク3テンソルモデルの直交対称性が、微分同相変換に類似した写像を含むn-airy変換としてフラット空間上に実現されることを示すこと。
• フラット空間代数の体系的切断手順を構築し、部分空間、コンpact化、格子理論、粗粒化をモデル化すること。

提案手法

• テンソル $M_{abc}$ を、フラット空間の構造定数 $f_{ab}{}^c$ と計量 $g_{ab}$ に写像する。$M_{abc} = f_{ab}{}^{c'} g_{c'c}$ とし、ゲージ固定のため $g_{ab} = \bar{\rho}_{ab}$ とする。
• 一般化されたエルミート性条件 $M_{abc} = M_{bca} = M_{cab} = M_{bac}^* = M_{acb}^* = M_{cba}^*$ を課し、これにより関数代数の巡回的性質 $\langle \phi_a \phi_b | \phi_c \rangle = \langle \phi_a | \phi_b \phi_c \rangle = \langle \phi_b | \phi_c \phi_a \rangle$ が得られることを示す。
• 状態 $|s\rangle = s_a |\phi_a\rangle$ と演算子 $\mathcal{O} = v_a \phi_a$ を定義し、巡回的代数を用いて内積の一貫性を保証する行列要素を計算する。
• 一般形式の作用に代数と計量を代入することで、フラット空間上でのスカラー場作用を構築し、有効場理論を導出する。
• 球面調和関数代数において、ダミング因子 $D(j)$ を用いてフラット球面をモデル化する。$D(j) \propto I_{j+1/2}(-\beta)$ は、球面上のガウス型ダミングから導かれる。
• 低運動量または低$j$展開を実行し、スカラー場作用が連続極限において標準的な運動項（例：球面上のラプラシアン）を再現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク3テンソルにおける一般化されたエルミート性条件が、フラット空間の関数代数にどのように巡回的性質をもたらすか？
• RQ2 非結合的フラット空間に巡回的構造が存在する場合、一貫した内積や演算子トレースを伴う量子力学的アナログが、どの程度まで維持されるか？
• RQ3 ランク3テンソルモデルの直交対称性が、微分同相変換に類似した写像を含む、フラット空間上に体系的にn-airy変換として実現可能か？
• RQ4 フラット空間代数の体系的切断手順は何か？ そして、これによりコンpact化、部分空間、粗粒化をどのようにモデル化できるか？
• RQ5 ダミング因子 $D(j) \propto I_{j+1/2}(-\beta)$ を用いて得られるフラット球面上のスカラー場作用が、低エネルギー極限において標準的な球面上のラプラシアンを再現するか？

主な発見

• ランク3テンソルにおける一般化されたエルミート性条件により、関数代数に巡回的性質が誘導される：$\langle \phi_a \phi_b | \phi_c \rangle = \langle \phi_a | \phi_b \phi_c \rangle = \langle \phi_b | \phi_c \phi_a \rangle$。この性質がフラット空間の物理的整合性の根幹をなす。
• 非結合的であるにもかかわらず、フラット空間は量子力学に類似した力学を支持する：状態、演算子、トレースが一貫して定義され、トレースが乗法の順序に依存しないのは巡回性のおかげである。
• テンソルモデルの直交対称性 $O(N)$ は、微分同相変換に類似した写像を含むn-airy変換としてフラット空間上に実現され、体系的な対称性構造が得られる。
• 関数代数の体系的切断手順が存在し、部分空間、コンpact化、格子理論、粗粒化手順の構築が可能になる。
• ダミング因子 $D(j) \propto I_{j+1/2}(-\beta)$ を持つフラット2次元球面上、スカラー場作用は低$j$において $S_{sphere} = (c_0 + c_1 j(j+1) + \cdots) \psi_{(j,m)}^* \psi_{(j,m)}$ に簡略化され、標準的な球面上のラプラシアンを再現する。
• 低運動量極限において、フラットなフラット空間上のスカラー場作用は運動項 $\propto 3\alpha c_0 p^2$ を持ち、これはフラット空間上の標準的なスカラー場作用と一致する。