[論文レビュー] Fuzzy transformations and extremality of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree

Christof Kuelske, U. A. Rozikov|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2014

Theoretical and Computational Physics参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、曇った変換と境界則解析を用いて、ケイリー木上の q状態 Potts モデルにおける移動不変分割ギブス測度（TISGM）の極端性を調査する。低温において、既知の $q+1$ 個の極端測度を超えて、少なくとも $2^{q-1} + q$ 個の TISGM が極端であることを証明し、スペクトル的および変分的手段を用いて、極端性が成立する温度区間の明示的境界を導出する。

ABSTRACT

We continue our study of the full set of translation-invariant splitting Gibbs measures (TISGMs, translation-invariant tree-indexed Markov chains) for the $q$-state Potts model on a Cayley tree. In our previous work \cite{KRK} we gave a full description of the TISGMs, and showed in particular that at sufficiently low temperatures their number is $2^{q}-1$. In this paper we find some regions for the temperature parameter ensuring that a given TISGM is (non-)extreme in the set of all Gibbs measures. In particular we show the existence of a temperature interval for which there are at least $2^{q-1} + q$ extremal TISGMs. For the Cayley tree of order two we give explicit formulae and some numerical values.

研究の動機と目的

• 先行研究で得られたケイリー木上の q状態 Potts モデルにおける $2^q - 1$ 個の移動不変分割ギブス測度（TISGM）の極端性状態を特定すること。
• これらの TISGM が極端または非極端である領域、特に温度区間を特定すること。
• 標準的な $q+1$ 個を超える新たに発見された TISGM が極端であるかどうかを解明し、特に既知の自由境界条件および一様境界条件測度と比較して評価すること。
• 曇った変換を用い、境界則から導かれる遷移行列のスペクトル的性質を解析することで、極端性の十分条件を導出すること。

提案手法

• 移動不変境界則の分類に依拠する。これは正の q ベクトルであり、非線形な木再帰を満たし、TISGM と一対一に対応する。
• 曇った変換を用いて状態空間をブロックに分割し、すべての TISGM の遷移行列に $2\times2$ ブロック構造を明らかにし、対称性に基づく解析を可能にする。
• 測度の極端性は、関連する遷移行列のスペクトル半径を解析し、Kesten-Stigum の基準およびテイル・シグマ代数の非自明性に関連する基準を適用することで決定される。
• 変分的アプローチにより、関数 $g(\theta, q)$ を研究し、$\theta \in [\theta_c, \breve{\theta})$ において $\mu_1(\theta, m)$ が極端であるような一意の解 $\breve{\theta}$ の存在を特定する。ここで $\theta_c = q+1$ である。
• 数値解析と連続性の議論を用いて、臨界温度 $\theta_c$ の近傍の測度が極端のまま保たれることを示し、$\theta$ における $\gamma$ と $\kappa$ の連続性を活用する。
• 特に $m=2$ の場合について、$\theta$, $m$, $q$ を含む不等式を用いて極端性の明示的境界を導出し、$q \geq 5$ の場合に Kesten-Stigum の境界が鋭くないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケイリー木上の Potts モデルにおける $2^q - 1$ 個の TISGM が、ギブス測度全体の集合内でどの温度区間で極端であるか。
• RQ2 $z_1$-分岐によって生成される $2^{q-1} - 1$ 個の TISGM と、$z_2$-分岐によって生成される $2^{q-1} - 1$ 個の TISGM は極端か。もしそうならば、どのような条件下でそうなるか。
• RQ3 非極端性のための Kesten-Stigum の境界を改善できるか。本稿は、自由境界条件測度の Kesten-Stigum の閾値と実際の極端性閾値との間のギャップを確立するか。
• RQ4 自由境界条件測度は低温においても極端のままであるか。他の TISGM と比較して、その極端性はいかがな状況にあるか。
• RQ5 臨界温度 $\theta_c = q+1$ は、$z_1$-分岐測度の非極端性から極端性への遷移において、果たす役割は何か。

主な発見

• $q \geq 4$ の場合、関数 $g(\theta, q)$ は一意の零点 $\breve{\theta}(q)$ を持ち、$\theta \in [\theta_c, \breve{\theta})$ において $\mu_1(\theta, m)$ が極端である。ここで $\theta_c = q+1$ かつ $\breve{\theta} < \theta^*$ であり、非自明な区間で極端性が証明される。
• $q = 6$ の場合、数値解析により $\theta^* \approx 11.485$ および $\breve{\theta} \approx 8.903$ が得られ、臨界温度と極端性閾値の間のギャップは約 $2.582$ である。
• $m=2$ かつ $q < 9$ の場合、$\theta < 7$ のとき測度 $\mu_2(\theta, m)$ は極端であるが、Kesten-Stigum の非極端性の境界は $\widehat{\theta} \approx 7.4852$ であり、両者の間には約 $0.4852$ のギャップがある。
• $\theta_c = q+1$ の十分小さな穿孔付き近傍では、$\gamma$ と $\kappa$ の連続性により、すべての $\mu_1(\theta, m)$ 測度が極端であることが確認され、臨界点近傍での極端性が裏付けられる。
• 極端 TISGM の総数は、低温領域において少なくとも $2^{q-1} + q$ 個に達する。これは、$q$ 個の均一境界条件クラスの測度と、$2^{q-1}$ 個の $\mu_1(\theta, m)$ 家族の測度から成る。
• 本稿は、自由境界条件測度 $\mu_0$ が $\theta = \theta_c$ で極端であり、連続性により近傍でも極端のままであることを確立し、極端性の問題における重要なケースを解決した。