[論文レビュー] G-Expectation, G-Brownian Motion and Related Stochastic Calculus of Ito's type

Shigē Péng|ArXiv.org|Jan 3, 2006

Stochastic processes and financial applications被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、生成子Gを伴う完全非線形熱方程式に基づくG期待値——確率空間に依存しない非線形期待値枠組み——を導入し、Gブラウン運動およびそれに相当するイト型確率積分計算を構築する。主な貢献は、この内生的かつ確率空間に依存しない枠組みにおいて、新しいイトの公式およびSDEの解の存在・一意性に関する結果を確立したことであり、古典的イト積分計算をボラティリティの不確実性をモデル化する一般化へと拡張する。

ABSTRACT

We introduce a notion of nonlinear expectation --G--expectation-- generated by a nonlinear heat equation with infinitesimal generator G. We first discuss the notion of G-standard normal distribution. With this nonlinear distribution we can introduce our G-expectation under which the canonical process is a G--Brownian motion. We then establish the related stochastic calculus, especially stochastic integrals of Ito's type with respect to our G--Brownian motion and derive the related Ito's formula. We have also give the existence and uniqueness of stochastic differential equation under our G-expectation. As compared with our previous framework of g-expectations, the theory of G-expectation is intrinsic in the sense that it is not based on a given (linear) probability space.

研究の動機と目的

• 既存の確率空間に依存しない非線形期待値枠組みの構築を目的とし、古典的確率論の限界を克服すること。
• 生成子Gを伴う完全非線形熱方程式を用いて、Gブラウン運動およびG正規分布を定義すること。
• G期待値の下で、確率積分およびイトの公式を含むイト型確率積分計算を確立すること。
• G枠組み下での確率微分方程式（SDE）の解の存在および一意性を証明すること。
• 内在的かつモデルフリーな手法を用いて、ファイナンスおよび確率過程におけるボラティリティ不確実性のモデル化の基盤を提供すること。

提案手法

• 生成子Gを伴う完全非線形熱方程式（G-熱方程式）の解を通じてG期待値を定義し、古典的熱方程式を一般化する。
• G期待値下での標準過程の分布としてG正規分布を定義し、G-熱方程式から導出する。
• G枠組みにおける単純過程の極限手続きを用いて、Gブラウン運動に関する確率積分を構成する。
• G生成子および二階微分を含む、Gブラウン運動のための新しいイトの公式を導出する。これは古典的イトの公式を一般化する。
• 空間 $M_G^2(0,T;\mathbb{R}^n)$ における収縮写像原理の証明を通じて、G期待値下でのSDEの解の存在および一意性を確立する。
• G条件付き期待値およびG期待値下での$L^2$ノルムを用いた事前推定を用いて、収束性および安定性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた確率空間に依存せずに、非線形期待値を内生的に構築することは可能か？
• RQ2 完全非線形熱方程式から導かれるGブラウン運動に対して、イト型確率積分計算をどのように構築できるか？
• RQ3 G期待値下でのイトの公式の形は何か？ また、古典的イトの公式とはどのように異なるか？
• RQ4 Gブラウン運動によって駆動される確率微分方程式は、どのような条件下で一意な解をもつか？
• RQ5 G枠組みは、一貫性リスク測度およびボラティリティ不確実性のモデルとどのように関係するか？

主な発見

• G期待値は、事前確率空間を必要とせず、生成子Gを伴う完全非線形熱方程式の解を通じて内生的に定義される。
• G期待値下での標準過程はGブラウン運動であり、G-熱方程式から導かれるG正規分布によって特徴づけられる。
• Gブラウン運動のための新しいイトの公式が導出され、生成子Gおよび二階微分を含む。これは古典的イトの公式を一般化する。
• G期待値下で、$L^2$推定および極限手続きを用いて収束性が保証される、イト型確率積分が構築される。
• 係数にリプシッツ条件が成り立つ場合、$X_t = X_0 + \int_0^t b(X_s)ds + \int_0^t h(X_s)d\langle B\rangle_s + \int_0^t \sigma(X_s)dB_s$ の形をした確率微分方程式は、$M_G^2(0,T;\mathbb{R}^n)$ 内で一意な解をもつ。
• この枠組みは、完全非線形PDEの確率的基盤を提供し、ボラティリティの不確実性をモデル化するものであり、一貫性リスク測度と同等である。