[論文レビュー] G-expectations in infinite dimensional spaces and related PDEs

Anton Ibragimov|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 57被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、無限次元ヒルベルト空間へのG期待値理論の拡張を試み、Gブラウン運動、G確率積分、およびG正規確率変数の共分散集合を導入する。また、G期待値を用いた無限次元オーレンシュタイン＝ウーレンの過程に駆動される、一意な粘性解を有する完全非線形放物型PDEの確率的表現を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we extend the G-expectation theory to infinite dimensions. Such notions as a covariation set of G-normal distributed random variables, viscosity solution, a stochastic integral driven by G-Brownian motion are introduced and described in the given infinite dimensional case. We also give a probabilistic representation of the unique viscosity solution to the fully nonlinear parabolic PDE with unbounded first order term in Hilbert space in terms of G-expectation theory.

研究の動機と目的

• 標準的な有限次元の手法が、有界でない作用素のため失敗するため、無限次元ヒルベルト空間へのG期待値理論の拡張を目的とする。
• ヒルベルト空間におけるGブラウン運動に関する確率積分を定義し、無限次元における確率微分方程式の研究を可能にする。
• ヒルベルト空間における、有界でない一次項を有する完全非線形放物型PDEの唯一の粘性解の確率的表現を提供すること。
• 無限次元におけるG期待値および確率積分を用いて、粘性解の存在および一意性を確立すること。
• 古典的な確率的表現（例：フェインマン＝カックの公式）を、完全非線形かつ非マルコフ的状況における無限次元空間へ一般化すること。

提案手法

• ヒルベルト空間における有界で、自己随伴的かつコンパクトな作用素の空間に、単調性、劣線形性、連続性を満たすG関数を導入する。
• G期待値に関連する確率過程として、標準ブラウン運動を劣線形期待値へ一般化したヒルベルト空間におけるGブラウン運動を定義する。
• 予測可能でヒルベルト＝シュミット作用素値の被積分関数を用いて、Gブラウン運動に関するG確率積分を構成する。
• 無限次元設定において、伊藤の等長性およびBDG型不等式を適用し、確率積分の可積分性と収束性を保証する。
• オーレンシュタイン＝ウーレン型の確率微分方程式を導出する：$ dX_t = A X_t dt + dB_t $、ここで$ X_t $はGブラウン運動に駆動される。
• 解$ X_T^{t,x} $を用いて、候補解$ u(t,x) = \mathbb{E}[f(X_T^{t,x})] $を定義する。ここで$ \mathbb{E} $はG期待値を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G期待値理論を無限次元ヒルベルト空間へ一貫的に拡張する方法は何か？
• RQ2 無限次元における適切なG確率積分およびGブラウン運動の定義は何か？
• RQ3 有界でない一次項を有する完全非線形放物型PDEの粘性解を、ヒルベルト空間において確率的に表現できるか？
• RQ4 G期待値法を用いて、そのような解の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ5 標準的な確率積分の道具（伊藤の等長性、BDG不等式）は、この無限次元で劣線形な設定においてどのように一般化されるか？

主な発見

• 有界で、自己随伴的かつコンパクトな作用素の空間に、劣線形性、単調性、連続性を満たすG関数の新しいクラスが定義される。
• 予測可能でヒルベルト＝シュミット作用素値の被積分関数を用いた、Gブラウン運動に関するG確率積分が構成され、収束性と可積分性が保証される。
• PDE $ \partial_t u + \langle Ax, D_x u \rangle + G(D_{xx}^2 u) = 0 $ の解は、$ u(t,x) = \mathbb{E}[f(X_T^{t,x})] $ として表現され、ここで$ X_T^{t,x} $はGブラウン運動に駆動されるSDEの解である。
• 摂動論法と$ \delta \to 0 $における極限操作を用いて、解$ u $が粘性解であることが示され、正しい生成作用素条件が得られる。
• BDG不等式および作用素ノルムの推定を用いて、$ L^2 $収束とモーメントの有界性に基づき、$ u $の$ (t,x) $における連続性が確立される。
• 解は、端末条件$ f $からのB連続性および多項式成長性を引き継ぎ、G期待値フレームワーク下で正則性が保証される。