[論文レビュー] Géométrie d'Arakelov des variétés toriques et fibrés en droites intégrables

Vincent Maillot|ArXiv.org|Jun 16, 1997

Geometry and complex manifolds被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、特徴的な計量を備えた線分束に対してC∞でない可能性がある計量を導入することで、Spec ℤ 上の滑らかで射影的トーリック多様体に対するアラケロフ幾何学の枠組みを構築する。これにより、整数的線分束に対する算術チャウ群およびチャウ類の定義が可能になる。主な貢献は、トーリック線分束の算術次数がその関連多面体の体積と、計量データを符号化する新しい定数L(∇)に関係する一般化された算術的ベルンシュタイン＝クシュニレニコ定理の確立である。

ABSTRACT

En nous appuyant sur une construction due à Bedford et Taylor, et certains résultats récents de Demailly, nous présentons une extension (partielle) de la géométrie d'Arakelov aux fibrés en droites intégrables. (Ces derniers sont les fibrés en droites hermitiens sur une variété arithmétique $X$ pouvant se décomposer sous la forme $\ov{E} = \ov{E}_{1}\otimes (\ov{E}_{2})^{-1}$, où $\ov{E}_{1}$ et $\ov{E}_{2}$ sont des fibrés en droites munis à l'infini d'une métrique continue approchable uniformément sur $X(C)$ par des métriques positives $C^{\infty}$). Nous appliquons notre théorie aux fibrés en droites sur une variété torique munis à l'infini de leur métrique canonique. Nous en déduisons, entre autres choses, la démonstration d'un analogue arithmétique du théorème de Bernstein-Koushnirenko.

研究の動機と目的

• 線分束の計量がC∞でない場合でも、Spec ℤ 上のトーリック多様体へのアラケロフ理論の拡張を、非C∞でない計量を備えた標準的計量の構成によって達成する。
• 最初のチャウ類電流が滑らかでない場合でも、整数的線分束に対する算術チャウ群およびチャウ類を定義する。
• 古典的ベルンシュタイン＝クシュニレニコ定理を算術的設定に一般化し、算術次数を多面体不変量と関連付ける。
• 一般化された微分形式とベッドフォード＝トーラー理論を用いて、トーリック多様体における算術的交差理論の枠組みを確立する。
• 関手的および正則性の性質による、トーリック線分束上の標準的計量の特徴付けを行い、一意性および算術的交差と整合性を保証する。

提案手法

• ファンと多面体からの組合せ的データを用いて、Spec ℤ 上のトーリック多様体上の線分束に標準的計量を構成する。
• 適切な線分束（計量が正でかつC∞計量による近似が可能）である場合に限って、差分として定義される整数的線分束の概念を導入する。
• ベッドフォード＝トーラー＝ドメリリー理論を適用し、最初のチャウ類を表す非滑らか(1,1)-電流の積を定義する。
• 非滑らか計量に対応する一般化された微分形式の理論を構築し、整数的線分束に対する算術チャウ群の定義を可能にする。
• チャウ電流の正則性とサイクル上での積分を用いて、算術的高さの上限を導出する。
• 超曲面切断によるサイクルの再帰的構成を用い、主な算術的ベルンシュタイン＝クシュニレニコ定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線分束の標準的計量がC∞でない場合、Spec ℤ 上のトーリック多様体に対して算術的チャウ類および交差理論をどのように定義できるか？
• RQ2 トーリック多様体における古典的ベルンシュタイン＝クシュニレニコ定理の算術的類似は何か？
• RQ3 ギレット＝スールェの算術的チャウ理論を、整数的線分束による非滑らか計量を含む形にどのように拡張できるか？
• RQ4 算術的交差理論において定数L(∇)はどのような役割を果たすか？
• RQ5 制限および交差に関して、トーリック線分束上の標準的計量はどのように振る舞い、その関手的性質は何か？

主な発見

• 滑らかでない場合でも、トーリック線分束に標準的計量を備えた最初のチャウ電流は、閉じていて正の(1,1)-電流であり、ベッドフォード＝トーラー理論によりそのべき乗が定義可能である。
• 滑らかで射影的なトーリック多様体の算術チャウ群は、整数的線分束の算術的最初のチャウ類によって生成され、古典的チャウ環を一般化する。
• トーリック線分束上の標準的計量は、その関手的および正則性の性質によって一意に特徴付けられ、トーリック多様体の圏全体にわたって一貫性を保証する。
• トーリック線分束の算術次数は、その関連多面体の体積に、計量の特異性を符号化する定数L(∇)を含む補正項を加えたもので上限づけられる。
• 主な結果は、算術的ベルンシュタイン＝クシュニレニコ定理である：線分束の切断によって定義されるサイクルの高さは、線分束の次数の和と、L(∇k)および切断の除数の高さを含む項との和で上限づけられる。
• 証明は、サイクルの再帰的構成と、超曲面との交差後のサイクルの高さを、切断の対数ノルムの上界とチャウ電流の正則性を用いて上限づける重要な不等式に依拠している。