[論文レビュー] Géométrie de contact: de la dimension trois vers les dimensions supérieures

Emmanuel Giroux|arXiv (Cornell University)|May 8, 2003

Geometric and Algebraic Topology被引用数 360

ひとこと要約

この論文は、閉じた奇数次元多様体上の接触構造と、特定の幾何的性質を備えた開本の間の深い対応関係を確立する。すべての接触構造が、ページがコンパクトなステイン多様体であり、モノドロミーがシンプレクティック同相であり、安定化が正のラグランジュ的プレスティングに一致するような開本によって支持されることを示している。これは、ドナルドソンの正のラインバンドルと、開本の理論を含むシンプレクティックおよび接触幾何学的道具を用いて、3次元接触トポロジーの対応関係を高次元に拡張したものである。

ABSTRACT

On décrit ici des relations entre la géométrie globale des variétés de contact closes et celle de certaines variétés symplectiques, à savoir les variétés de Stein compactes. L'origine de ces relations est l'existence de livres ouverts adaptés aux structures de contact. We discuss relations between the global geometry of closed contact manifolds and the geometry of compact symplectic Stein manifolds that they bound. The origin of these relations is the existence of open book decompositions adapted to contact structures.

研究の動機と目的

• 閉じた奇数次元多様体上の接触構造と、特定の幾何的およびシンプレクティック的性質を備えた開本との間の対応関係を確立すること。
• 3次元接触トポロジーの対応関係（開本と接触構造を含む）を高次元に一般化すること。
• 高次元における接触構造が、コンパクトなステイン多様体をページとし、モノドロミーがシンプレクティック同相であるような開本から生じることを示すこと。
• 正のラグランジュ的プレスティングが、高次元設定における基本的な安定化操作として果たす役割を特定すること。
• 正のラインバンドルの理論と開本の理論を通じて、接触多様体のグローバルな幾何学をシンプレクティック幾何学と結びつけること。

提案手法

• 閉じた多様体上の接触構造をパrametrizeする幾何的道具としての開本の使用。
• 開本に適した接触形式の構成：バインディング上で接触構造を誘導し、各ページ上でシンプレクティック構造を誘導する必要がある。
• S. ドナルドソンのシンプレクティック幾何学における正のラインバンドル理論を用いて、高次元における必要な開本を構成すること。
• IMPらの研究を介して、正のラインバンドル理論を接触幾何学へ適応すること。
• ミルナー特異点をもつ正則関数が、球面上の開本を導き、標準接触構造を支持するモデル例としてのミルナーの特異点ファイブレーションの使用。
• 接触構造が「ある開本によって支持される」とは、形式がバインディングおよびページ上で明確な条件を満たすこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた奇数次元多様体上の接触構造は、どのように開本を用いて分類可能か？
• RQ2 高次元において接触構造を支持するためには、開本が満たすべき幾何的およびシンプレクティック的条件は何か？
• RQ3 正のラグランジュ的プレスティングは、接触構造を支持する開本の安定化において果たす役割は何か？
• RQ4 シンプレクティック幾何学における正のラインバンドル理論は、高次元の接触設定にどのように拡張可能か？
• RQ5 3次元を超える次元における任意の閉じた接触多様体は、ステインのページとシンプレクティックなモノドロミーを備えた開本として実現可能か？

主な発見

• 次元 2n+1 の閉じた多様体上のすべての接触構造は、コンパクトなステイン多様体をページとし、コンパクトな台を持つシンプレクティック同相であるモノドロミーを持つ開本によって支持される。
• 高次元設定における基本的な安定化操作は、正のラグランジュ的プレスティングに対応し、3次元の場合の一般化である。
• このような開本の存在は、S. ドナルドソンが開発した正のラインバンドル理論によって保証され、接触幾何学へ適応されている。
• 球面 S^{2n+1} 上の標準接触構造は、孤立した特異点をもつ正則関数のミルナー特異点ファイブレーションに関連する開本として生じる。
• 本論文は、多様体が接触構造をもつならば、その2次元トーラスとの積にも接触構造が存在することを証明している。これは、適した接触形式と径方向関数を用いた構成によって達成される。
• 高次元における接触構造と開本の対応関係は、3次元の場合と同様に、グローバルでトポロジカル不変であり、より強いシンプレクティック的および複素幾何的制約を伴う。