[論文レビュー] G2 instantons and the Seiberg-Witten monopoles

Andriy Haydys|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、7次元多様体上のG₂インスタントンと、アソシエイティブ部分多様体上のセイバーウェブ・モノポールの間の仮説的関係を提案する。G₂インスタントンの退化がフーテル断面（一般化モノポール）に至ることで、インスタントン数のジャンプが相殺され得る可能性があり、これは変形不変なキャッソン型不変量の構成を可能にする。この枠組みは、フーテル写像とスピンルのノード集合を通じて、高次元ゲージ理論と3次元セイバーウェブ・ウィッテン理論を結びつける。

ABSTRACT

I describe a relation (mostly conjectural) between the Seiberg-Witten monopoles, Fueter sections, and G2 instantons. In the last part of this article I gathered some open questions connected with this relation.

研究の動機と目的

• 7次元多様体上のG₂インスタントンと、アソシエイティブ部分多様体上のセイバーウェブ・モノポールの間の潜在的対応を調査すること。
• G₂インスタントンがフーテル断面に退化する仕組みが、計量変形に伴うインスタントン数のジャンプとどのように関係するかを理解すること。
• G₂インスタントンとセイバーウェブ・モノポールの相互退化が相殺され得るかどうかを調査し、well-definedなキャッソン型不変量の構成を可能にするかを検討すること。
• セイバーウェブ理論に現れるZ/2-調和スピンルのノード集合の正則性と位相的意味を検討すること。
• セイバーウェブ解において決定的線束が自明である場合、吹き出し集合Zが一般に空集合であるかどうかを特定すること。

提案手法

• G₂インスタントンとセイバーウェブ・モノポールの橋渡しとしてフーテル断面を用い、アソシエイティブ部分多様体上でのインスタントンの退化をモデル化する。
• 2つのスピンルを用いたセイバーウェブ方程式を適用し、特にZ/2-調和スピンルのノード集合Zを研究する。
• ker(Ψ)によって定義される写像Φ₀: M∖Z → Gr_{n−2}(Cⁿ)のMへの拡張を検討し、[Z, θ, or] ∈ H₁(M, Z)としてwell-definedなホモロジー類を定義可能かどうかを検討する。
• ウーレンベック型コンパクト化技術を用い、フーテル断面特異性を有する理想インスタントンを考察することで、モジュライ空間の非コンパクト性に対処する。
• G₂インスタントンと3次元における平坦接続の類似性を検討し、両者ともチェーン＝シモンズ型汎関数の臨界点であることを強調する。
• 決定的線束の役割が、吹き出し集合Zが非自明であるか、一般に空集合であるかを決定するかを検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのスピンルを有するセイバーウェブ・モノポールの退化として生じるペア(ψ, Z)は、どのようなものか？
• RQ2 Z/2-調和スピンルのノード集合Zは可縮可能か？ また、1次元ヒルベルト測度は有限か？
• RQ3 決定的線束が自明なセイバーウェブ解において、吹き出し集合Zは計量と接続の空間において一般に空集合か？
• RQ4 任意の解(A, Ψ, 0)に対して、M∖ZからGr_{n−2}(Cⁿ)への写像Φ₀: M∖Z → Gr_{n−2}(Cⁿ)は、M全体に連続的に拡張可能か？
• RQ5 アソシエイティブ部分多様体上のセイバーウェブ・モノポールの寄与を含めることで、G₂インスタントンの数え上げを変形不変にできるか？

主な発見

• Z/2-調和スピンルのノード集合Zは、Mにおけるリプシッツ部分多様体である開で稠密な部分集合を含み、そのハウスドルフ次元は1以下である。
• ker(Ψ)によって定義される写像Φ₀: M∖Z → Gr_{n−2}(Cⁿ)は、Mへの連続的拡張が可能であり、そのような拡張が存在する場合、[Z, θ, or] ∈ H₁(M, Z)としてwell-definedなホモロジー類を定義可能である。
• 決定的線束が自明な解において、吹き出し集合Zは、リーマン計量とSU(n)-接続の空間において、一般に空集合であると予想される。
• G₂インスタントンがアソシエイティブ部分多様体上でフーテル断面に退化する現象は、セイバーウェブ・モノポールの退化と一致すると予想され、不変量における相殺の可能性を示唆する。
• 真の調和スピンルにおける既知の正則性結果（例：ノード集合が可算的可縮可能であること）は、Z/2-調和スピンルには直接拡張されず、Zの構造はまだ部分的に未解決のままである。
• 幾何的遷移の下で、特に重み付きのアソシエイティブ部分多様体の数え上げを通じて、G₂インスタントン数の補正項を定義可能かどうかは未だ不明である。