[論文レビュー] Gabriel localization theory and its applications

Abolfazl Tarizadeh|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は可換環に対するGabriel局所化理論を展開し、古典的局所化の自然な一般化を確立する。平坦なエピモルフィズムが環の写像として、特定のクラスのGabriel局所化にちょうど一致することを証明し、この結果の新しい、初等的な証明を提供するとともに、局所化関手の正確性および局所化された環における素イデアルの構造を特徴づける。

ABSTRACT

In this article first we develop the Gabriel localizations (abbreviated as G-localizations) for commutative rings, specially some new results in this direction are proven. Then, as an application, it is shown that a ring map is a flat epimorphism if and only if it corresponds to a kind of the G-localizations. As a by-product of this study, a characterization for the flatness of the quotient rings is given. The exactness of the G-localization functor are characterized. The structure of prime ideals in the G-localization rings are also studied. Finally, it is shown that the Gabriel localization theory is a natural generalization of the usual localization theory.

研究の動機と目的

• 可換環に対するGabriel局所化理論を発展させ、古典的局所化法を拡張する。
• 環の写像が平坦エピモルフィズムであるための必要十分条件がG局所化から生じることを示す、新しい初等的証明を提供する。
• G局所化関手の正確性を特徴づけ、G局所化された環における素イデアルの構造を記述する。
• G局所化が通常の局所化を一般化し、平坦エピモルフィズムを統一的な枠組みで扱えるようにすることを示す。

提案手法

• 可換環R上のトポロジジング系Fを、空でないイデアルの族で、Fに属する要素を含むイデアルおよび有限交差について閉じたものとして定義する。
• 各元の annihilator がFに属するR加群をF無視可能加群と呼び、F(−)として左完全関手をなす。
• R_Fを、I ∈ Fを走るHom_R(I, R/F(R))の余極限として構成し、自然な写像j_R: R → R_Fを定める。
• 余極限の普遍性を用いて、乗法的集合Sに対して一意なR線形写像φ: S⁻¹M → M_Fを定義し、通常の局所化と整合することを示す。
• p ↦ p_F が、Fに属さない素イデアルと、R_FにおいてF′（R_F上の誘導されたトポロジー）に属さない素イデアルとの間の全単射を与えることを証明する。
• Fが乗法的集合Sと交わるイデアルの族であるとき、通常の局所化S⁻¹RはR_Fと自然に同型であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gabriel局所化は、古典的局所化を超えて、可換環に対して体系的にどのように展開できるか？
• RQ2 平坦エピモルフィズムとG局所化との間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 G局所化関手の正確性は、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 元の環における素イデアルとG局所化された環における素イデアルとの関係はいかなるものか？

主な発見

• 環の写像が平坦エピモルフィズムであるための必要十分条件が、G局所化として生じることを示し、この結果の新しい初等的証明を提供する。
• G局所化関手は左完全であり、その正確性はトポロジジング系Fに関する条件によって特徴づけられる。
• R_Fの素イデアルは、Fに属さないRの素イデアルと、写像p ↦ p_F によって双対的に対応する。
• Fが乗法的集合Sと交わるイデアルの族であるとき、通常の局所化S⁻¹RはR_Fと自然に同型である。
• F無視可能加群の構造は、部分加群、商加群、有限直積、および局所化に関して保存される。
• G局所化の研究の副産物として、商環の平坦性に関する特徴づけが得られる。