[論文レビュー] Gain and phase type multipliers for feedback robustness

Axel Ringh, Xin Mao+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2022

Stability and Control of Uncertain Systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、構造的不確実性—特に利得型（大きさ）または位相型（位相）の不確実性—に対するロバストなフィードバック安定性が、対応する構造的マルチプライヤーの存在を必要とする、という事実を確立する。利得不確実性のロバスト安定性には利得型マルチプライヤー（対角ブロックがゼロ）が必要であり、位相不確実性のロバスト安定性には位相型マルチプライヤー（非対角ブロックがゼロ）が必要である。主な貢献は、不確実性の種類とマルチプライヤー構造との間の双対性であり、積分二次制約（IQC）フレームワーク内での小利得および小位相定理の一般化を実現する。

ABSTRACT

It is known that the stability of a feedback interconnection of two linear time-invariant systems implies that the graphs of the open-loop systems are quadratically separated. This separation is defined by an object known as the multiplier. The theory of integral quadratic constraints shows that the converse also holds under certain conditions. This paper establishes that if the feedback is robustly stable against certain structured uncertainty, then there always exists a multiplier that takes a corresponding form. In particular, if the feedback is robustly stable to certain gain-type uncertainty, then there exists a corresponding multiplier that is of phase-type, i.e., its diagonal blocks are zeros. These results build on the notion of phases of matrices and systems, which was recently introduced in the field of control. Similarly, if the feedback is robustly stable to certain phase-type uncertainty, then there exists a gain-type multiplier, i.e., its off-diagonal blocks are zeros. The results are meaningfully instructive in the search for a valid multiplier for establishing robust closed-loop stability, and cover the well-known small-gain and the recent small-phase theorems.

研究の動機と目的

• マルチプライヤー理論を用いて、構造的不確実性下でのロバストなフィードバック安定性の必要条件を確立すること。
• 不確実性の種類（利得または位相）とマルチプライヤー構造（位相型または利得型）との間の双対性を明確にすること。
• ロバスト性が特定の構造的マルチプライヤーの存在を示すという事実を示すことにより、小利得および小位相定理を一般化すること。
• 特定の不確実性種別に対するロバスト性を確保する際、マルチプライヤー探索を構造的形に制限する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 構造的マルチプライヤーを用いた積分二次制約（IQC）による二次的グラフ分離を用いる。
• パーサバル-プランシェル定理を用いて、時間領域の積分と周波数領域の不等式を関連付ける。
• 特異値分解（SVD）およびユニタリ変換を用いて、任意のユニタリ摂動下でのロバストネスを分析する。
• 置換行列と固有値解析を用いて、行列式がゼロでないための特異値に関する必要条件を導出する。
• 任意のユニタリ摂動下でのロバスト安定性と、位相型または利得型マルチプライヤーの存在との同値性を証明する。
• 行列位相理論およびセクター行列解析を用いて、位相型マルチプライヤーの定義と特徴付けを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相型不確実性に対するロバスト安定性が、位相型マルチプライヤーの存在を示す条件は何か？
• RQ2 利得型不確実性に対するロバスト安定性は、利得型マルチプライヤーの必要性を伴うか？
• RQ3 構造的マルチプライヤー（利得型または位相型）は、特定の不確実性クラス下でのフィードバックシステムのロバストネスとどのように関係するか？
• RQ4 小利得および小位相定理は、マルチプライヤー存在という一般枠組みの下で統一可能か？
• RQ5 任意のユニタリ摂動下でのロバスト安定性の必要十分条件は、マルチプライヤー構造の観点からどのように記述できるか？

主な発見

• 任意の安定なユニタリ（全通過）摂動に対してロバストな安定性が成立するならば、対応する位相型マルチプライヤー（対角ブロックがゼロ）の存在が保証される。
• 任意の正のスカラー利得摂動に対してロバストな安定性が成立するならば、対応する利得型マルチプライヤー（非対角ブロックがゼロ）の存在が保証される。
• 行列 A および B に対して、すべてのユニタリ U および V に対して det(I + UAVB) ≠ 0 であることは、二次的分離を満たす位相型マルチプライヤーの存在と同値である。
• 行列 A および B の最大特異値の積が 1 より小さい場合、すべてのユニタリ摂動に対してロバストネスが成立し、かつ位相型マルチプライヤーが存在する。
• 利得型マルチプライヤーの存在は、正のスカラー不確実性に対するロバストネスの必要十分条件であり、小利得定理を一般化する。
• 本結果は、標準的なIQCP理論の逆を示す：特定の不確実性種別に対するロバストネスは、対応する構造的形態のマルチプライヤーの存在を示唆する。