[論文レビュー] Galerkin finite element approximation for semilinear stochastic time-tempered fractional wave equations with multiplicative white noise and fractional Gaussian noise

Yajing Li, Yejuan Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、乗法的空間-時間白色ノイズおよび分数ガウスノイズによって駆動される、時間温度付きの分数的線形でない波動方程式を解くためのガレルキン有限要素法を提示する。解の存在、一意性、正則性を確立し、モデル化誤差および空間近似誤差の平均二乗誤差推定値を導出し、ノイズおよび初期データの適切な正則性仮定の下で最適収束率を証明する。

ABSTRACT

To model wave propagation in inhomogeneous media with frequency-dependent power-law attenuation, it is needed to use the fractional powers of symmetric coercive elliptic operators in space and the Caputo tempered fractional derivative in time. The model studied in this paper is semilinear stochastic space-time fractional wave equations driven by infinite dimensional multiplicative white noise and fractional Gaussian noise, because of the potential fluctuations of the external sources. The purpose of this work is to discuss the Galerkin finite element approximation for the semilinear stochastic fractional wave equation. We first provide a complete solution theory, e.g., existence, uniqueness, and regularity. Then the space-time multiplicative white noise and fractional Gaussian noise are discretized, which results in a regularized stochastic fractional wave equation while introducing a modeling error in the mean-square sense. We further present a complete regularity theory for the regularized equation. A standard finite element approximation is used for the spatial operator, and the mean-square priori estimates for the modeling error and for the approximation error to the solution of the regularized problem are established.

研究の動機と目的

• 時間温度付きのCaputo微分（α ∈ (3/2, 2)）および分数ラプラシアン (−Δ)^β（β ∈ (1/2, 1)）を有する非線形確率的空間-時間分数的波動方程式のための数値スキームを開発すること。
• 周波数依存減衰を示す不均質媒質における波動伝播を分数的作用素を用いてモデル化する課題に取り組むこと。
• 外部の揺らぎに起因する現実的なノイズ源（乗法的空間-時間白色ノイズおよび分数ガウスノイズ）を組み込むこと。
• 確率的分数的波動方程式の完全な解理論（存在、一意性、正則性）を確立すること。
• ノイズ正則化に起因するモデル化誤差および有限要素近似誤差の平均二乗誤差推定値を導出し、収束を保証すること。

提案手法

• 時間にわたる時間温度付きのCaputo微分（α ∈ (3/2, 2)）およびスペクトル的分数ラプラシアン (−Δ)^β（β ∈ (1/2, 1)）を用いて確率的分数的波動方程式を定式化する。
• 無限次元の乗法的白色ノイズおよび分数ガウスノイズの正則化を導入し、数値的取り扱いを可能にする。
• 有界な凸多角形領域上での適合有限要素空間を用いて、空間離散化にガレルキン有限要素法を適用する。
• ノイズ正則化に起因するモデル化誤差および有限要素近似誤差の平均二乗事前推定値を導出する。
• ラプラシアンのスペクトル分解と独立な分数 Browne 動きによるノイズ表現を用いた確率的時間発展方程式の枠組みを採用する。
• 確定的部分の基本解をMittag-Leffler関数 Eα,α(·) を用いて表現し、指数的温度付きにより減衰挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的白色ノイズおよび分数ガウスノイズを伴う非線形確率的時間温度付き分数的波動方程式の解の存在、一意性、正則性は何か？
• RQ2 無限次元ノイズ項の正則化が、平均二乗意味で解に与える影響は何か？
• RQ3 正則化された確率的分数的波動方程式に対するガレルキン有限要素近似の収束速度は何か？
• RQ4 Hurstパラメータ H ∈ (1/2, 1) および温度付きパラメータ ν が正則性および近似誤差に与える影響は何か？
• RQ5 乗法的ノイズが存在する状況下でのモデル化誤差および空間離散化誤差の最適平均二乗誤差境界は何か？

主な発見

• 非線形性およびノイズに関する適切な仮定の下で、確率的分数的波動方程式の解は存在し、一意的であり、Sobolev空間 H^2eγ および H^2eγ−2β/α において十分な正則性を持つ。
• 無限次元白色ノイズおよび分数ガウスノイズの正則化に起因するモデル化誤差は、平均二乗意味で O(τ²) で有界であり、ここで τ は時間ステップサイズである。
• 有限要素近似誤差は、H^2eγ−2β/α 範囲で O(τ²) で有界であり、与えられた正則性条件の下で時間方向に2次収束を示す。
• 収束速度は最適であり、ノイズの正則性に依存し、ノイズ共分散作用素の固有値の和によって誤差が制御される。
• 誤差推定値は時間に一様であり、温度付きパラメータ ν および Hurst パラメータ H に依存する。後者はノイズ経路の Hölder 連続性に影響を与える。
• 最終的な誤差境界は、モデル化誤差と近似誤差を組み合わせ、E∥u(t) − un(t)∥²_H^2eγ−2β/α ≤ Cτ² + C∑(ηₗⁿ)² + C∑(ẽηₗⁿ)² として得られ、ノイズ正則化および時間ステップが 0 に近づくにつれて収束が確認される。