[論文レビュー] Galerkin Methods for the Fully Nonlinear Monge-Ampère Equation

Xiaobing Feng, Michael Neilan|ArXiv.org|Dec 7, 2007

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、完全非線形Monge-Ampère方程式に対して、vanishing moment法を用いて4階の擬線形問題に正則化するガレルキン有限要素法およびスペクトル法を開発・分析する。主な貢献は、正則化パラメータ $\varepsilon$ に明示的な依存関係を示す最適誤差推定であり、数値的証拠により $h = \varepsilon^{1/2}$ がグローバル誤差 $u^0 - u_h^\varepsilon$ の最適収束率を与えることが示されている。標準的な摂動技法の欠如を、線形化問題の安定性を利用した固定点法によって克服している。

ABSTRACT

This paper develops and analyzes finite element Galerkin and spectral Galerkin methods for approximating viscosity solutions of the fully nonlinear Monge-Ampère equation $\det(D^2u^0)=f$ based on the vanishing moment method which was developed by the authors in \cite{Feng2,Feng1}. In this approach, the Monge-Ampère equation is approximated by the fourth order quasilinear equation $-εΔ^2 u^ε+ \det{D^2u^ε} =f$ accompanied by appropriate boundary conditions. This new approach allows one to construct convergent Galerkin numerical methods for the fully nonlinear Monge-Ampère equation, a task which has been impracticable before. In this paper, we first develop some finite element and spectral Galerkin methods for approximating the solution $u^ε$ of the regularized fourth order problem. We then derive optimal order error estimates for the proposed numerical methods. In particular, we track explicitly the dependence of the error bounds on the parameter $\vepsi$, for the error $u^ε-u^ε_h$. Finally, using the Aygris finite element method as an example, we present a detailed numerical study of the rates of convergence in terms of powers of $\vepsi$ for the error $u^0-u_h^\vepsi$, and numerically examine what is the "best" mesh size $h$ in relation to $\vepsi$ in order to achieve these rates.

研究の動機と目的

• 完全非線形Monge-Ampere方程式に対する収束するガレルキン数値法を開発すること。これは、強い非線形性のため、以前は実用的ではなかった。
• 正則化された4階擬線形問題 $-\varepsilon\Delta^2 u^\varepsilon + \det(D^2 u^\varepsilon) = f$ に対する有限要素法およびスペクトルガレルキン法を分析すること。
• $u^\varepsilon - u_h^\varepsilon$ の最適誤差推定を導出し、正則化パラメータ $\varepsilon$ への明示的依存関係を示すこと。
• グローバル誤差 $u^0 - u_h^\varepsilon$ の収束率を最適化するための、メッシュサイズ $h$ と正則化パラメータ $\varepsilon$ の最適な関係を同定すること。

提案手法

• 完全非線形Monge-Ampere方程式を、vanishing moment法により4階の擬線形放物型PDEに正則化する：$-\varepsilon\Delta^2 u^\varepsilon + \det(D^2 u^\varepsilon) = f$。
• 正則化問題の解 $u^\varepsilon$ を近似するために、ガレルキン有限要素法およびスペクトルガレルキン法を用いる。
• 標準的な摂動論法の失敗を克服するため、線形化問題の安定性とその有限要素近似に依存した固定点技法を採用する。
• $L^2$、$H^1$、$H^2$ ノルムにおける誤差を分析し、誤差境界における $\varepsilon$ の明示的依存関係を追跡する。
• 収束率の検証として、Aygris有限要素法を数値的例として用いる。
• 数値実験を $u^0 = x^4 + y^2$ および $u^0 = 20x^6 + y^6$ を用いて実施し、$h$-$\varepsilon$ 関係の異なる場合の収束性をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則化されたMonge-Ampere問題に対するガレルキン法の最適収束率は、$h$ と $\varepsilon$ の観点からどのように記述できるか？
• RQ2 $u^\varepsilon - u_h^\varepsilon$ の誤差は正則化パラメータ $\varepsilon$ にどのように依存するか？
• RQ3 強い非線形性のため標準的摂動技法が失敗する状況下でも、固定点法を用いて最適誤差推定を確立できるか？
• RQ4 グローバル誤差 $u^0 - u_h^\varepsilon$ の収束率を最適化するための、$h$ と $\varepsilon$ の最良の関係は何か？
• RQ5 $h = \varepsilon^{1/2}$ のとき、$u^0 - u_h^\varepsilon$ の収束率は $u^0 - u^\varepsilon$ のそれに一致するか？

主な発見

• 誤差推定を $L^2$、$H^1$、$H^2$ ノルムにおいて $u^\varepsilon - u_h^\varepsilon$ に対して最適に導出し、$\varepsilon$ への明示的依存関係を示した。
• 数値結果により、理論的予測を上回る収束が確認された。$\varepsilon = 0.001$ のとき、$\|u^\varepsilon - u_h^\varepsilon\|_{L^2} \approx O(h^6)$、$\|u^\varepsilon - u_h^\varepsilon\|_{H^1} \approx O(h^5)$、$\|u^\varepsilon - u_h^\varepsilon\|_{H^2} \approx O(h^4)$ となった。
• $h = \varepsilon^{1/2}$ のとき、グローバル誤差 $\|u^0 - u_h^\varepsilon\|_{H^2}$ は $O(\varepsilon^{1/4})$ で収束し、$\|u^0 - u^\varepsilon\|_{H^2}$ の収束率と一致した。
• $h = \varepsilon^{1/2}$ のとき、グローバル誤差 $\|u^0 - u_h^\varepsilon\|_{L^2}$ は $O(\varepsilon)$ で収束し、$\|u^0 - u^\varepsilon\|_{L^2}$ の収束率と一致した。
• $h = \varepsilon$ のとき、$H^1$-誤差 $\|u^0 - u_h^\varepsilon\|_{H^1}$ は $O(\varepsilon^{1/2})$ で収束し、劣最適な性能であることが示された。
• $h = \varepsilon^{1/2}$ が、すべてのノルムにおいてグローバル誤差の最良収束率を達成する最適選択であることが数値的に確認された。