[論文レビュー] Gales and supergales are equivalent for defining constructive Hausdorff dimension

Stephen Fenner|ArXiv.org|Aug 29, 2002

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 9被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、カントール空間上の良好にバランスの取れた計算可能確率測度について、構成的ギャールと構成的スーパー・ギャールが、構成的ハウスドルフ次元を定義する際に同等であることを確立する。主な結果は、ある集合が構成的スーパー・ギャールによって効果的に標的にできるならば、それとは同様に構成的ギャールによっても標的にできるということであり、これはヒッチコックの先行結果（一様測度に限る）を一般化し、ルーツが提起した未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We show that for a wide range of probability measures, constructive gales are interchangable with constructive supergales for defining constructive Hausdorff dimension, thus generalizing a previous independent result of Hitchcock (cs.CC/0208043) and partially answering an open question of Lutz (cs.CC/0203017).

研究の動機と目的

• ルーツが提起した、構成的ハウスドルフ次元を定義する際の構成的ギャールとスーパー・ギャールの等価性に関する未解決問題を解決すること。
• 一様測度に限るという制限のもとでのヒッチコックの結果を、一様測度以外の広範な計算可能確率測度のクラスへ一般化すること。
• 構成的ギャールとスーパー・ギャールの両定義が一致するための十分条件（良好にバランスの取れた測度）を同定すること。
• 構成的次元とコルモゴロフ・コンプレックスィティの関係を明確化するために、その定義に用いられる基礎的ツールを強化すること。

提案手法

• 良好にバランスの取れた確率測度の概念を導入。これは測度値の減少率に関する条件として定義され、ν(w) ≤ 2^{c−ε|w|}（あるc, ε > 0）を満たす。
• 与えられた構成的ν-s-スーパーギャールdに基づき、U_i = {w | d(w) > 2^i}と定義し、ν-s′-ギャールd_{U_i}^{s′}の重み付き和として新しい構成的ν-s′-ギャールd′を構成する。
• 良好にバランスの取れた条件を用いて、∑_{w∈U_i ∩ {0,1}^k} ν(w)^{s′} ≤ 2^{(s′−s)(c−εk)−i}を示し、これにより構成されたギャールd′の収束を保証する。
• 元のスーパーギャールdの成功集合に属する列zがd′においても成功する、すなわちdの成功集合がd′の成功集合に含まれることを示す。
• この構成を適用することで、集合X上で構成的ν-s-ギャールが成功するようなsの下限が、Xの構成的ハウスドルフ次元dim_ν(X)に一致することを示す。
• 集合U = {⟨i,w⟩ | w ∈ U_i}がc.e.（効果的可算）であることを利用し、構成されたd′が構成的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の計算可能確率測度について、構成的ハウスドルフ次元を定義する際の構成的スーパー・ギャールと構成的ギャールの定義が等価であるか。
• RQ2 ヒッチコックの一様測度に関する結果は、より広範な確率測度のクラスへ拡張可能か。
• RQ3 計算可能確率測度にどのような条件を課すと、構成的ギャールとスーパー・ギャールが次元の目的において相互に定義可能になるか。
• RQ4 良好にバランスの取れた条件は必要不可欠であり、それより弱い条件（例：弱くバランスの取れた条件）に緩和可能か。
• RQ5 非良好にバランスの取れた測度に対しても、構成的ν-s-スーパーギャールの存在が、構成的ν-s-ギャールの存在を示唆するか。

主な発見

• 任意の良好にバランスの取れた計算可能測度νについて、集合X上で構成的ν-s-スーパーギャールが成功するならば、それと同様に構成的ν-s-ギャールもX上で成功する。
• 構成されたギャールd′は、c.e.集合と計算可能重みの和であることから、well-definedかつ構成的である。
• 元のスーパーギャールの成功集合は、新しいギャールd′の成功集合に含まれる。これにより、ギャール定義による次元が、スーパー・ギャール定義による次元と同じ集合を捉えることが証明される。
• 集合X上で構成的ν-s-ギャールが成功するようなsの下限が、Xの構成的ハウスドルフ次元dim_ν(X)に一致する。これにより、二つの定義の等価性が確認される。
• 本結果は、ヒッチコックの先行結果（一様測度に限る）を、すべての良好にバランスの取れた計算可能測度へ一般化し、構成的次元理論の適用範囲を拡大する。
• 本稿では、良好にバランスの取れた条件を「弱くバランスの取れた」条件へ緩和可能かどうかは未解決のまま残されている。これは、スケーリングされた測度ギャールの成功集合を含む候補条件である。