[論文レビュー] Galilean invariance in 2+1 dimensions

Yves Brihaye, Cezary Gonera+2 more|ArXiv.org|Mar 8, 1995

Quantum and Classical Electrodynamics被引用数 32

ひとこと要約

本稿は2+1次元のガリレーグループの射影表現を調査し、質量（m）、スピンに類似したパラメータ（g）、および新規の非対称なブースト運動量項（k）によってパrameter化される三パラメータ族の中心拡大を明らかにする。非ゼロのkが位置演算子の非可換性と修正された不確定性関係を引き起こし、anyonに類似した振る舞いを示すが、物理的整合性を保つためには特定の表現を除外する必要があり、他の表現では非局在化可能な状態や修正された調和振動子スペクトルといった新しい量子現象が得られる。

ABSTRACT

The Galilean invariance in three dimensional space-time is considered. It appears that the Galilei group in 2+1 dimensions posses a three-parameter family of projective representations. Their physical interpretation is discussed in some detail.

研究の動機と目的

• 2+1次元のガリレーグループの射影表現の構造を分析すること。これは回転群が単純であるため、3+1次元の場合とは根本的に異なる。
• 2+1次元ガリレイ代数の三パラメータ族の中心拡大を特定・分類すること。特に、新規パラメータkの役割に注目する。
• これらの表現の物理的解釈を検討すること。特に、局在性、位置演算子、およびカシミール不変量の存在に関する考察を行う。
• 非ゼロkの結果として生じる非可換な位置演算子と修正された不確定性関係の影響を調査し、物理的妥当性を評価すること。
• k ≠ 0の量子理論と古典理論を変数の再定義によって標準理論と比較し、調和振動子のような系に与える影響を分析すること。

提案手法

• 2+1次元ガリレイ群のリー代数を導出し、P、K、Hの交換関係に中心的荷重を追加することで中心拡大を計算する。
• ヤコビ恒等式と再定義（例：K_i → K_i + (k/(2m))ε_ij P_j）を用い、m ≠ 0のときkを消去できることを示し、この場合kが物理的に余分であることを示す。
• 指数パrametrization g = exp(-iτH)exp(iu·P)exp(iv·K)exp(iθJ)を用いて普遍被覆群を構成し、表現論の適用を可能にする。
• 位置演算子を X_i = (1/m)K_i + (k/m²)ε_ij P_j と定義し、[X_i, X_j] = -i(k/m²)ε_ij が得られることを示す。
• 不確定性関係 △X₁△X₂ ≥ |k|/(2m²) を分析し、波動関数 f(p) = F(γp₁ - ip₂)exp[u + (k/(2m²))(γp₁ - ip₂)]p₁ を用いて境界に達する波動関数を構成する。
• 非標準的項を含むポisson括弧を用いて古典的類似を確立する：{F,G} = ∂F/∂x_i ∂G/∂p_i - ∂F/∂p_i ∂G/∂x_i - (k/m²)ε_ij ∂F/∂x_i ∂G/∂x_j。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2+1次元ガリレイ代数の中心拡大の構造は何か？その射影表現をパラメータ化する独立なパラメータはいくつあるか？
• RQ2 非ゼロのkパラメータは2+1次元における位置演算子と不確定性原理にどのように影響を与えるか？
• RQ3 k ≠ 0の理論の物理的内容を、場の再定義によって標準ガリレーシアン理論に再解釈できるか？
• RQ4 非可換な位置演算子は状態の局在性や位置観測可能量の存在にどのような影響を与えるか？
• RQ5 k ≠ 0の場合の調和振動子のスペクトルは標準ケースと比べてどのように異なるか？また、再定義によって標準的振動子に写像可能か？

主な発見

• 2+1次元ガリレイ群は、質量（m）、角運動量に関連するg、および非対称なブースト運動量項（k）によってパラメータ化される三パラメータ族の非同値な射影表現を許容する。
• m ≠ 0のとき、再定義 K_i → K_i + (k/(2m))ε_ij P_j を用いることでkパラメータを消去でき、この場合kは物理的に余分であることが示される。
• 位置演算子は非可換になる：[X_i, X_j] = -i(k/m²)ε_ij となり、位置の最小不確定性 △X₁△X₂ ≥ |k|/(2m²) が得られる。
• 不確定性境界に達する波動関数が存在し、f(p) = F(γp₁ - ip₂)exp[u + (k/(2m²))(γp₁ - ip₂)]p₁ の形をとる。Fは正規化のために選ばれる。
• k ≠ 0の古典理論は、x_i = x_si + (k/(2m²))ε_ij p_sj、p_i = p_si、K_i = K_si - (k/(2m))ε_ij p_sj の置換により、標準理論に写像可能である。
• 調和振動子の場合、k ≠ 0のハミルトニアンは H = (p_s²)/(2m_s) + (m_s ω_s² x_s²)/2 + γ J_s と表され、m_s⁻¹ = m⁻¹(1 + k²ω²/(4m²))、ω_s² = ω²(1 + k²ω²/(4m²))、γ = kω²/(2m) であり、スペクトルが修正されていることが示される。