[論文レビュー] Galois Codescent For Motivic Tame Kernels

Jilali Assim, A. Movahhedi|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、数体の有限Galois拡大におけるモチビックTame K群のGalois降下写像の核を明示的に記述し、モチビックコホホロジーを用いて偶数K群の種数公式を確立する。特に、Qの実および完全実2拡大における、エタールコホモロジーおよびK群の2-primary部分の消滅に関する、分岐およびFrobenius作用に基づく算術的条件を導出する。

ABSTRACT

Let $L/F$ be a finite Galois extension of number fields with an arbitrary Galois group $G$. We give an explicit description of the kernel of the natural map on motivic tame kernels $H^2_{\mathcal{M}}(o_L, {\bf Z}(i))_{G} { ightarrow} H^2_{\mathcal{M}}(o_F, {\bf Z}(i))$. Using the link between motivic cohomology and $K$-theory, we deduce genus formulae for all even $K$-groups $K_{2i-2}(o_F)$ of the ring of integers. As a by-product, we also obtain lower bounds for the order of the kernel and cokernel of the functorial map $H^2_{\mathcal{M}}(F, {\bf Z}(i)) ightarrow H^2_{\mathcal{M}}( L, {\bf Z}(i) )^{G}$.

研究の動機と目的

• 有限Galois群Gをもつ数体の拡大L/Fによって誘導されるモチビックTame K群上の自然な写像の核を、モチビックコホモロジーを用いて記述すること。
• K理論とモチビックコホモロジーの間のBloch-Kato同型を用いて、K_{2i-2}(o_F)のための種数公式を導出すること。
• Qの2拡大における正のエタールコホモロジー群H^2_+(o_F[1/2], \mathbb{Z}_2(i))の消滅に関する必要十分算術的条件を確立すること。
• Galois 2拡大L/\mathbb{Q}におけるK_{2i-2}(o_L)の2-primary部分の消滅を、2i-2 \mod 8の合同類および分岐性に応じて特定すること。
• B. Kahnが提起した、エタールコホモロジーにおける符号写像の像に関する問題を、符号写像の余核の2-ランクが任意に与えられるような数体を構成することによって解決すること。

提案手法

• K理論の問題をモチビックコホモロジーに翻訳するために、モチビックBloch-Kato同型を用い、局所化系列の利用を可能にする。
• Geisserのモチビックコホモロジーにおける局所化系列を適用し、H^2_{\mathcal{M}}(o_F, \mathbb{Z}(i))とH^2_{\mathcal{M}}(F, \mathbb{Z}(i))を関連づけ、核の解析を容易にする。
• Galois降下の障害を構成するため、エタールTate核D_F^{(i)}および拡大E(\sqrt[p]{D_F^{(i)}})/Eを用いる。
• E(\sqrt[p]{D_F^{(i)}})/EのGalois群上のFrobenius作用を用いて、転送写像が同型となる条件を特徴付ける。
• 符号写像\mathrm{sgn}_F: H^1(F, \mathbb{Z}_2(i))/2 \to \bigoplus_{v \text{ 実}} \mathbb{Z}/2を解析し、H^2_+(o_F[1/2], \mathbb{Z}_2(i))の構造を特定する。
• H^2_+とH^2を含む完全系列を用いて、K群の消滅をコホモロジー的条件と関連づけ、特にQの2拡大において分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Galois降下写像H^2_{\mathcal{M}}(o_L, \mathbb{Z}(i))_G \to H^2_{\mathcal{M}}(o_F, \mathbb{Z}(i))の核の明示的構造は何か？
• RQ2 モチビックコホモロジーの整数環のための転送写像\mathrm{tr}_iが、いつ同型となるか？
• RQ3 Galois 2拡大L/\mathbb{Q}におけるK_{2i-2}(o_L)の2-primary部分が、i \mod 8に応じていつ消えるか？
• RQ4 符号写像\mathrm{sgn}_Fの像は何か？また、その2-ランク\rho_iを任意に与えることは可能か？
• RQ5 特に分岐指数を割る素数において、L/Fの分岐性がモチビック転送写像の核および余核に与える影響は何か？

主な発見

• 写像H^2_{\mathcal{M}}(o_L, \mathbb{Z}(i))_G \to H^2_{\mathcal{M}}(o_F, \mathbb{Z}(i))の核は、分岐指数を割る素数pに対し、\mathrm{Gal}(E(\sqrt[p]{D_F^{(i)}})/E)におけるFrobenius元の線形独立性によって明示的に記述される。
• 巡回p拡大L/Fに対しては、K_{2i-2}(o_F)の種数公式は、L/Fにおける分岐データのみに依存する。これは、補題4.12および4.13で示された。
• i \geq 2が奇数のとき、任意のn \geq 1に対して、符号写像\mathrm{sgn}_Fの像の2-ランク\rho_i = nである完全実数体Fが存在する。これは定理4.15で証明された。
• 完全実Galois 2拡大L/\mathbb{Q}に対して、K_{2i-2}(o_L)の2-primary部分が消えるのは、Lが\{2, \infty, \ell\}を除き分岐していない、かつ\ell \equiv \pm 3 \pmod{8}のときであり、これは補題6.5で示された。
• 2i-2 \equiv 0 \pmod{8}のとき、完全虚数Lに対してK_{2i-2}(o_L)の2-primary部分が消えるのは、Lが\{2, \infty, \ell\}を除き分岐していない、かつ\ell \equiv \pm 3 \pmod{8}のときであり、これは補題6.6で示された。
• 完全実巡回2拡大で2i-2 \equiv 0 \pmod{8}のとき、K_{2i-2}(o_L)の2-primary部分が消えるのは、Lが\{2, \ell_1, \ell_2\}を除き分岐していない、かつ\ell_1, \ell_2 \not\equiv 1 \pmod{8}、さらに\ell_1 \not\equiv \ell_2 \pmod{8}のときであり、これは命題6.7で示された。