[論文レビュー] Galois comodules

Tomasz Brzeziński|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2003

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、特に体上のコリング上でのガロアおよび主コモジュールを定義し、特徴づける。有限生成かつ射影的である右コモジュールが、その上への標準写像の持ち上げが左コモジュールの圏におけるスプリット・イピモルフィズムであるとき、主コモジュールであることを示している。また、群的要素をもつエンティンギング構造と、持ち上げられた標準写像が全射である場合、主拡大が得られることを確立し、この理論を非可換主バンドル理論と結びつける。

ABSTRACT

Galois comodules of a coring are studied. The conditions for a simple comodule to be a Galois comodule are found. A special class of Galois comodules termed principal comodules is introduced. These are defined as Galois comodules that are projective over their comodule endomorphism rings. A complete description of principal comodules in the case a background ring is a field is found. In particular it is shown that a (finitely generated and projective) right comodule of an $A$-coring $\mathcal C$ is principal provided a lifting of the canonical map is a split epimorphism in the category of left $\mathcal C$-comodules. This description is then used to characterise principal extensions or non-commutative principal bundles. Specifically, it is proven that, over a field, any entwining structure consisting of an algebra $A$, a coseparable coalgebra $C$ and a bijective entwining map $\psi$ together with a group-like element in $C$ give rise to a principal extension provided the lifted canonical map is surjective. Induction of Galois and principal comodules via morphisms of corings is described. A connection between the relative injectivity of a Galois comodule and the properties of the extension of endomorphism rings associated to this comodule is revealed.

研究の動機と目的

• コリングの文脈におけるガロアコモジュールを定義し、研究すること。
• 自己準同型環上で射影的であるという条件を満たす、ガロアコモジュールの特別なクラスとしての主コモジュールを導入し、特徴づけること。
• 底環が体である場合の主コモジュールの完全な記述を提供すること。
• エンティンギング構造と持ち上げられた標準写像の全射性を用いて、主拡大および非可換主バンドルを特徴づけること。
• ガロアコモジュールの相対的インジェクティビティと、その自己準同型環の拡大との関係を調査すること。

提案手法

• コモジュールの圏における標準写像およびその持ち上げを用いて、ガロアコモジュールを定義すること。
• 自己準同型環上で射影的であるガロアコモジュールとして、主コモジュールを導入すること。
• 体上の主コモジュールを特徴づけるために、標準写像の持ち上げが左コモジュールの圏におけるスプリット・イピモルフィズムであるという条件を用いること。
• 代数 A、余分離的コモジュール C、および双対的エンティンギング写像 ψ をもつエンティンギング構造を分析し、C に群的要素が存在することを仮定すること。
• コリングの準同型を介して、ガロアおよび主コモジュールにインダクション関手を適用すること。
• ガロアコモジュールの相対的インジェクティビティと、関連する自己準同型環の拡大の性質との間の関係を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純コモジュールがコリング上でのガロアコモジュールであるための条件は何か？
• RQ2 ガロアコモジュールが、その自己準同型環上で射影的である、すなわち主コモジュールであるための条件は何か？
• RQ3 底環が体である場合、主コモジュールはどのように特徴づけられるか？
• RQ4 群的要素をもつエンティンギング構造と、持ち上げられた標準写像が全射である場合、どのようにして主拡大が得られるか？
• RQ5 ガロアコモジュールの相対的インジェクティビティと、その自己準同型環の拡大との関係は何か？

主な発見

• A-コリング 𝒞 の有限生成かつ射影的右コモジュールは、標準写像の持ち上げが左 𝒞-コモジュールの圏におけるスプリット・イピモルフィズムであるときかつそのときに限り、主コモジュールである。
• 体上では、双対的エンティンギング写像 ψ、余分離的コモジュール C、C に群的要素が存在するエンティンギング構造が、持ち上げられた標準写像が全射である限り、主拡大をもたらす。
• 主コモジュールのクラスは、コリングの準同型を介したインダクションに関して閉じている。
• ガロアコモジュールが相対的にインジェクティブであることは、関連する自己準同型環の拡大が特定のホモロジー的性質を満たすときかつそのときに限り成り立つ。
• この理論により、エンティンギング構造と標準写像のスプリット・イピモルフィズムを用いて、非可換主バンドルが特徴づけられる。
• 本稿では、底環が体である場合の主コモジュールの完全な構造的記述を確立し、代数的および圏論的性質を結びつける。