[論文レビュー] Galois conjugates of entropies of real unimodal maps

Giulio Tiozzo|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特に超吸引的二次多項式を含む実一様写像の位相的エントロピー成長率のガロア共役の代数的・幾何的構造を調査する。くねり理論と係数が{±1}であるべき級数との関連を用いて、成長率のすべてのガロア共役の閉包であるエントロピー スペクトルが、経路連結かつ局所連結であることを証明し、これらの代数的数のフラクタル幾何に関するターファソンの予想を解決する。

ABSTRACT

We investigate the set of Galois conjugates of growth rates of superattracting real quadratic polynomials, following W. Thurston. In particular, we prove that the closure of this set is path-connected and locally connected.

研究の動機と目的

• postcritically finite な一様写像の成長率のガロア共役の代数的および幾何的性質を理解すること。
• 実二次多項式のエントロピーのガロア共役の集合が、経路連結かつ局所連結なフラクタル集合をなすというターファソンの予想を解決すること。
• エントロピー スペクトルとくねり行列式の零点集合との明確な関係を確立すること。
• 組合せ論的および力学系的手法を用いて、単位円板の内部および外部におけるエントロピー スペクトルの構造を分析すること。

提案手法

• 実二次写像 $f_c(z) = z^2 + c$ に対して、くねり行列式 $K_c(t)$ を関連づけ、その根が成長率 $s(f_c)$ の逆数に関係することを示す。
• エントロピー スペクトル $\Sigma$ を、超吸引的パラメータ $c \in M_0 \cap \mathbb{R}$ に対するすべての成長率 $s(f_c)$ のガロア共役の和集合の閉包として定義する。
• 単位円板内部の $\Sigma$ の部分を、係数が $\{\pm 1\}$ である多項式の零点集合 $\Sigma_{\pm 1}$ と一致することを、反射とスケーリングの議論により証明する。
• くねり行列式の構造を調べることで、$\Sigma_{kn} \cap \mathbb{E}$（単位円板外部）が連結かつ局所連結であることを証明する。
• エントロピー スペクトル $\Sigma$ と $\Sigma_{kn}$ がともに複素平面における単位円の近傍を含むことを示し、経路連結性と局所連結性の証明を完成させる。
• 符号的力学系と再帰的理論の技術を応用して、くねり多項式の既約性およびそのガロア共役の性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超吸引的実二次多項式の成長率のガロア共役の集合は経路連結かつ局所連結か？
• RQ2 エントロピー スペクトル $\Sigma$ は、係数が $\{\pm 1\}$ であるべき級数の零点集合とどのように関係するか？
• RQ3 単位円板の内部および外部におけるエントロピー スペクトルの幾何的構造は何か？
• RQ4 単位円板 $\mathbb{D}$ および外部 $\mathbb{E}$ における成分を別々に分析することで、全エントロピー スペクトル $\Sigma$ が連結であることを示せるか？
• RQ5 再帰的構造と軌道の組合せ論的性質は、くねり多項式の既約性およびそのガロア共役にどのように影響を与えるか？

主な発見

• エントロピー スペクトル $\Sigma$ は経路連結かつ局所連結であり、W. ターファソンの予想を裏付ける。
• 単位円板内部の $\Sigma$ の部分は、係数が $\{\pm 1\}$ であるすべての多項式の零点集合 $\Sigma_{\pm 1}$ に正確に一致する。
• $\Sigma_{kn}$（くねり行列式のすべての零点の集合）と $\mathbb{E}$（単位円板外部）の交差 $\Sigma_{kn} \cap \mathbb{E}$ は連結かつ局所連結である。
• $\Sigma$ と $\Sigma_{kn}$ はともに複素平面における単位円の近傍を含む。
• 証明は、くねり理論、符号的力学系、およびスケーリング・反射された格子を用いた幾何的被覆議論の組み合わせに依拠している。
• この結果は、一様写像の力学と、その成長率から生じる代数的整数のフラクタル幾何との間の深い関係を確立する。