[論文レビュー] Galois Connections for Generalized Functions and Relational Constraints

Miguel Couceiro|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2015

Advanced Algebra and Logic参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多価関数 $A^n \to \mathcal{P}(B)$ におけるガロア理論を拡張し、$A$ および $B$ 上の関係的制約 $(R,S)$ と多価関数の間のガロア接続を導入する。多価関数のガロア閉集合および制約の特徴付けは、弱および結合的マイナーに基づく閉包によって行われ、単値関数の既存結果を一般化し、${\bf LO}$、${\bf wCM}$、${\bf CM}$ を用いた閉包作用素の因数分解を提供する。

ABSTRACT

In this paper we focus on functions of the form $A^n ightarrow \mathcal{P}(B)$, for possibly different arbitrary non-empty sets $A$ and $B$, and where $\mathcal{P}(B)$ denotes the set of all subsets of $B$. These mappings are called \emph{multivalued functions}, and they generalize total and partial functions. We study Galois connections between these generalized functions and ordered pairs $(R,S)$ of relations on $A$ and $B$, respectively, called \emph{constraints}. We describe the Galois closed sets, and decompose the associated Galois operators, by means of necessary and sufficient conditions which specialize, in the total single-valued case, to those given in the author's previous work [M. Couceiro, S. Foldes. On closed sets of relational constraints and classes of functions closed under variable substitutions, Algebra Universalis 54 (2005) 149-165].

研究の動機と目的

• 単値関数から多価関数 $A^n \to \mathcal{P}(B)$ へのガロア接続の一般化を図ること。
• 多価関数および関係的制約 $(R,S)$ のガロア閉集合を定義し、特徴付けること。
• 関数クラスの定義可能性および制約充足問題に関する先行結果を、多価設定にまで拡張すること。
• 局所的閉包、弱結合的マイナー、および結合的マイナーを用いて閉包作用素を因数分解すること。
• 既知の単値関数の閉集合クラスおよびその双対制約集合の特徴付けを回復・一般化すること。

提案手法

• 多価関数の集合 $A^n \to \mathcal{P}(B)$ と関係 $(R,S)$（$R \subseteq A^m$, $S \subseteq B^m$）の間のガロア接続を導入する。
• $S$ が $\mathcal{P}(B)$ ではなく $B$ 上にあるという一般化された定義を用いて、多価関数の制約充足を定義し、従来の枠組みとは区別する。
• 単値関数の[CF]におけるものと同様の一般化された閉包条件によって、多価関数のガロア閉集合を特徴付ける。
• 局所的閉包 ${\bf LO}$、弱結合的マイナー ${\bf wCM}$、結合的マイナー ${\bf CM}$ の3つの閉包作用素を導入・分析し、制約集合に適用する。
• これらの作用素の合成として閉包写像の因数分解を導出し、${\bf LO}({\bf wCM}(\mathcal{T}))$ および ${\bf LO}({\bf CM}(\mathcal{T}))$ が弱または完全な結合的マイナーに関して閉じた最小の局所的閉集合を生成することを示す。
• この枠組みを用いて、単値関数に関する既知の結果を系として回復し、閉じた関数クラスおよびその双対制約集合の特徴付けを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単値関数から多価関数 $A^n \to \mathcal{P}(B)$ へのガロア接続をどのように一般化できるか？
• RQ2 提案された双対性において、多価関数の集合がガロア閉であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 ${\bf LO}$、${\bf wCM}$、${\bf CM}$ の閉包作用素が、制約のガロア閉集合を特徴付ける際にどのように作用するか？
• RQ4 本稿の結果は、既知の単値関数の閉集合クラスおよびその双対制約集合の特徴付けをどのように拡張・特殊化するか？
• RQ5 全関数、部分関数、単値関数などのさまざまな関数クラスの閉包写像は、より単純な作用素の合成に因数分解可能か？

主な発見

• 多価関数のガロア閉集合は、[CF]における単値関数のものと同様に一般化された閉包条件によって特徴付けられる。
• 制約のガロア閉集合は、局所的閉包、弱結合的マイナー、および結合的マイナーに関する閉包によって完全に記述され、明示的な因数分解が提供されている。
• 全多価関数の閉包作用素は ${\bf LO}({\bf CM}(\mathcal{T} \cup \{ (\emptyset,\emptyset), (A,B) \}))$ で与えられ、結合的マイナーおよび局所的閉包に関する閉包を示している。
• 部分関数の閉包作用素は ${\bf LO}({\bf wCM}(\mathcal{T} \cup \{ (\emptyset,\emptyset), (A,B), (=_{A},=_{B}) \}))$ で与えられ、弱マイナーおよび等価制約を含んでいる。
• 単値関数の閉包作用素は ${\bf LO}({\bf CM}(\mathcal{T} \cup \{ (\emptyset,\emptyset), (=_{A},=_{B}) \}))$ で与えられ、[CF]で知られている特徴付けを回復している。
• 本稿では、局所的閉包およびマイナー閉包から関数による定義可能性への含意が多価設定において成り立つことを確立し、補題2および定理4を一般化している。