[論文レビュー] Galois group at Galois point for genus-one curve

Mitsunori Kanazawa, Hisao Yoshihara|arXiv (Cornell University)|May 9, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特異点をもつ genus-one 曲線の外的ガロア点におけるすべての可能なガロア群を分類し、アーベル型ガロア群の位数は9以下であることが示され、非アーベル型群は無限大の位数を取り得ることを明らかにする。アーベル型の場合には、ガロア点からの射影によって誘導される体拡張と、格子構造および群作用を用いた楕円曲線の自己同型群の解析を通じて、明示的な定義方程式を提供する。

ABSTRACT

We show all the possible structures of finite subgroups of the automorphism groups of elliptic curves. Here the automorphism means the biholomorphic transformation. Using the result, we determine every Galois group G at outer Galois point for genus-one curve with singular points. In particular, if G is abelian, then its order is at most nine. However if not so, the order is unbounded. Furthermore, we give every defining equation of the curve with the Galois point in the case where G is abelian.

研究の動機と目的

• 楕円曲線の自己同型群のすべての有限部分群を分類すること。
• 特異点をもつ genus-one 曲線の外的ガロア点におけるガロア群の構造を特定すること。
• ガロア群がアーベル型である場合に、その曲線の明示的な定義方程式を提供すること。
• ガロア群の位数の有界性を調査し、特にアーベル型と非アーベル型の違いを明確にすること。
• 既知のガロア点に関する結果を滑らかな曲線から特異点をもつ genus-one 曲線へと拡張すること。

提案手法

• 平行移動と複素乗法の半直積構造を用いて楕円曲線の自己同型群を解析する。
• 正確列 $1 \to T(E) \to A(E) \to A(E)_0 \to 1$ を用いて、ガロア群を平行移動部と乗数部に分解する。
• 体拡張技術を適用：ガロア点 $P$ に対して、拡張 $k(C)/\bar{\pi}_P^*(k(\mathbb{P}^1))$ を解析し、ガロア群 $G$ を特定する。
• 群作用における不変量を用いて定義方程式を構成する。例えば $s = u^2$ および $t = 1/y$ を用いて関数体を生成する。
• 明示的な有理パラメータ表示と除数計算を用いて、体の等式 $\mathbb{C}(x,y) = \mathbb{C}(s,t)$ を検証する。
• 具体的な曲線 $y^2 = x^3 + x$、$y^2 = x^3 + 1$、$y^2 = x(x-1)(x-b)$ の例を用い、アーベル型ガロア群のための方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数体 $\mathbb{C}$ 上の楕円曲線の自己同型群のすべての可能な有限部分群は何か？
• RQ2 特異点をもつ genus-one 曲線に対して、外的ガロア点におけるガロア群の構造として可能なものは何か？
• RQ3 ガロア群がアーベル型である場合、最大でどのくらいの位数を取り得るか。また、その曲線の定義方程式は何か？
• RQ4 ガロア点における非アーベル型ガロア群の位数は、無限大に達する可能性があるか？
• RQ5 どのようにして、ガロア点においてアーベル型ガロア群をもつ genus-one 曲線の明示的定義方程式を構成できるか？

主な発見

• 特異点をもつ genus-one 曲線の外的ガロア点におけるガロア群は、位数が9以下のアーベル型であるか、あるいは位数が無限大に達する非アーベル型である。
• 楕円曲線の自己同型群のすべての可能な有限部分群が分類され、$A(E)_0$ は位数2、4、または6の巡回群である。
• アーベル型ガロア群の場合、$s = u^2$ および $t = 1/y$ などの不変量を用いて明示的な定義方程式が提供される。例えば $G \cong \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_4$ の場合、方程式 $s(s-2)^2y^4 = (y^4 + s)^2$ が得られる。
• 群 $G$ は半直積 $G_T \rtimes G_0$ として表され、$G_T$ は平行移動部、$G_0$ は乗数部である。
• $G \cong \mathbb{Z}_3^2$ の場合、不変量 $s = -y(y^2 - 9)/(y^2 - 1)$ を用いて、定義方程式 $s^2x^6 = (x^3 + 1)(x^3 - 8)^2$ が得られる。
• $G \cong \mathbb{Z}_2^3$ の場合、$t = 1/y$、$s = u^2$、$u = (x^2 - 1)/y$ を用いて、定義方程式 $(4t^4 + 5st^2 - 1)^2 = st^2(s + 8t^2)^2$ が得られる。