[論文レビュー] Galois groups and automata

Patrice Philippon|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2015

semigroups and automata theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、q-正則関数の代数的関係が、関数自体の代数的関係の特殊化から生じることを、正則性条件のもとで確立している。q-正則関数がℚ(z)上線形独立であることは、非特異な代数的点におけるそれらの値の線形独立性を示し、Mahlerの方法をガロア理論的枠組みへと拡張し、自動数および超越数に関する結果を精緻化している。

ABSTRACT

In the frame of Mahler's method for algebraic independence we show that the algebraic relations over Q linking the values of functions solutions of a system of functional equations come from the algebraic relations between the functions themselves, by specialisation. We deduce some results on the linear independence of the q-regular functions.

研究の動機と目的

• マーラーの関数方程式およびq-正則関数の文脈へ、シーゲル＝ジドロフスキーの定理を拡張すること。
• 代数的点におけるq-正則関数の値の間の代数的関係の起源を明確にすること。
• マーラー型関数方程式における代数的独立性を理解するためのガロア理論的枠組みを確立すること。
• 特に自動数の文脈において、q-正則関数の値の線形独立性に関する新しい結果を提供すること。
• 関数的関係およびガロア群と関連付けることにより、既存の自動数の超越性に関する結果を精緻化すること。

提案手法

• 関数方程式系 f(z) = A(z)f(z^q) の差分ガロア理論の枠組みを用いる。
• A(z)およびA(z)^{-1}の極を記述する最小多項式T(z)の根によって定義される特異集合の概念を導入する。
• 特殊化技術を用いて、関数の値の間の代数的関係を、関数自体の間の関係に結びつける。
• z-進位相において収束性を用いて、O[[z]]の係数をもつ基本解行列U(z)を構成する。
• 0で正則な基本解行列が存在することに依拠し、A(0) = Idを満たす。
• 関数方程式系のガロア群の構造を用いて、関数値の間の代数的関係を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的点におけるq-正則関数の値の間の代数的関係は、関数自体の関係の特殊化から生じるか？
• RQ2 q-正則関数がℚ(z)上線形独立であるならば、非特異な代数的点におけるそれらの値の線形独立性をどのように拡張できるか？
• RQ3 特異集合（T(z^q^ℓ)の根）は、関数値の間の代数的関係をどのように制御するか？
• RQ4 関数方程式系のガロア群は、関数値の間の代数的関係をどのように制約するか？
• RQ5 自動数およびq-正則関数に関する結果は、マーラー設定における古典的シーゲル＝ジドロフスキーの定理をどの程度拡張するか？

主な発見

• 任意の|α| < 1を満たす代数的数αについて、すべてのℓ ∈ ℕに対してT(α^q^ℓ) ≠ 0ならば、ℚ上でのP(f(α)) = 0という代数的関係は、ℚ[z]上でのQ(z, f(z)) = 0という関係から生じ、P(X) = Q(α, X)を満たす。
• 関数がℚ(z)上線形独立である限り、非特異な代数的点におけるq-正則関数の値の超越性が保証される。ただし、A(0) = Idを満たす必要がある。
• 関数レベルの関係から生じない関数値の代数的関係をもつ例外的点の集合は、T(z^q^ℓ)の根によって定義される特異集合に含まれる。
• f(z) = A(z)f(z^q)の基本解行列U(z)がO[[z]]の係数をもち、0の近傍で正則に解析的であることは、A(0) = Idであることに同値である。
• 基本解行列U(z)の係数は開単位円板上でメロモルフィックであり、それらの共通分母は∏_{ξ∈S, ℓ∈ℕ} (1 − ξ^{-1} z^{q^ℓ})である。
• ベーカーおよびアンドレの微分ガロア理論の結果を差分方程式の文脈へ一般化し、代数的関係の例外集合が正確に特異集合であることを示した。