[論文レビュー] Galois groups of co-abelian ball quotient covers

Азнив Каспарян|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$E$ を楕円曲線とする分裂アーベル・サーフェス $A = E \times E$ の自己同型群の有限部分群を分類し、幾何的不変式理論を用いて商 $A/H$ の Kodaira-Enriques 型を特定する。有限部分群の明示的生成元と関係式を提示し、商がハイパーエリプティック、楕円曲線を底曲線とするルールド、エンリケス、または有理型である場合を同定し、トーラス的コンパクト化上の有限群の作用を通じて、ボール商のガロア被覆と関連付ける。

ABSTRACT

If $X'= ({\mathbb B} / Γ)'$ is a torsion free toroidal compactification of a discrete ball quotient $X_o={\mathbb B} / Γ$ and $ξ: (X', T = X'\setminus X_o) ightarrow (X, D = ξ(T))$ is the blow-down of the $(-1)$-curves to the corresponding minimal model, then $G'= Aut (X',T)$ coincides with the finite group $G=Aut(X,D)$. In particular, for an elliptic curve $E$ with endomorphism ring $R = End(E)$ and a split abelian surface $X = A = E imes E$, $G$ is a finite subgroup of $Aut(A) = \mathcal{T}_A \leftthreetimes GL(2,R)$, where $(\mathcal{T}_A,+) \simeq (A,+)$ is the translation group of $A$ and $GL(2,R) = \{g \in R_{2 imes 2} \| \det(g) \in R^* \}$. The present work classifies the finite subgroups $H$ of $Aut (A = E imes E)$ for an arbitrary elliptic curve $E$. By the means of the geometric invariants theory, it characterizes the Kodaira-Enriques types of $A/H \simeq ({\mathbb B} / Γ)'/H$, in terms of the fixed point sets of $H$ on $A$. The abelian and the K3 surfaces $A/H$ are elaborated in \cite{KN}. The first section provides necessary and sufficient conditions for $A/H$ to be a hyper-elliptic, ruled with elliptic base, Enriques or a rational surface. In such a way, it depletes the Kodaira-Enriques classification of the finite Galois quotients $A/H$ of a split abelian surface $A = E imes E$. The second section derives a complete list of the conjugacy classes of the linear automorphisms $g \in GL(2,R)$ of $A$ of finite order, by the means of their eigenvalues. The third section classifies the finite subgroups $H$ of $GL(2,R)$. The last section provides explicit generators and relations for the finite subgroups $H$ of $Aut(A)$ with K3, hyper-elliptic, rules with elliptic base or Enriques quotients $A/H \simeq ({\mathbb B} / Γ)'/H$.

研究の動機と目的

• 任意の楕円曲線 $E$ に対して、$Aut(A = E \times E)$ のすべての有限部分群 $H$ を分類すること。
• 群 $H$ の $A$ 上の固定点集合に基づいて、商 $A/H$ の Kodaira-Enriques 型を特徴付けること。
• 幾何的不変式理論を用いて、$A/H$ がハイパーエリプティック、楕円曲線を底曲線とするルールド、エンリケス、または有理型である場合を特定すること。
• K3、ハイパーエリプティック、ルールド、またはエンリケス商をもたらす有限部分群 $H \subset Aut(A)$ の明示的生成元と関係式を提供すること。

提案手法

• 幾何的不変式理論を用いて $A/H$ の構造を解析し、$H$ の $A$ 上の固定点集合に基づいてその Kodaira-Enriques 型を分類する。
• $R = \text{End}(E)$ とおくとき、$GL(2,R)$ 内の有限位数線形自己同型の分類を、固有値を用いて行う。
• $Aut(A) \simeq \mathcal{T}_A \ltimes GL(2,R)$ の半直積構造を活用し、有限部分群 $H \subset Aut(A)$ の分類を $GL(2,R)$ の有限部分群の分類に還元する。
• $\Gamma_0$ をねじれのない群とし、$\Gamma$ を $SU_{2,1}$ の格子とするとき、$H = \Gamma / \Gamma_0$ のトーラス的コンパクト化 $X' = ({\mathbb{B}}/\Gamma_0)'$ 上の作用を分析する。
• $\Gamma_0$ は $\Gamma$ の有限指数の正規部分群であるから、$H = \Gamma / \Gamma_0$ は境界除集合 $T = X' \setminus X_0$ 上に作用し、$\overline{{\mathbb{B}}/\Gamma} = X'/H$ は孤立な巡回商特異点を持つコンパクト化をもたらす。
• $\overline{{\mathbb{B}}/\Gamma}$ の最小モデルは $A/H$ に有理型同値であり、特異点の解消と固定点解析を用いて不変量を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限部分群 $H \subset Aut(A = E \times E)$ のうち、商 $A/H$ がハイパーエリプティック、楕円曲線を底曲線とするルールド、エンリケス、または有理型の Kodaira-Enriques 型をもつものはどれか？
• RQ2 $A/H$ が与えられた Kodaira-Enriques 型であるための、$H$ の固定点集合に関する必要十分条件は何か？
• RQ3 $R = \text{End}(E)$ で $E$ が楕円曲線であるとき、$GL(2,R)$ の有限部分群を固有値と位数によってどのように分類できるか？
• RQ4 $A/H$ が K3、ハイパーエリプティック、ルールド、またはエンリケス表面であるような有限部分群 $H \subset Aut(A)$ の明示的生成元と関係式は何か？
• RQ5 共アーベルなボール商被覆のガロア群は、トーラス的コンパクト化 $X'$ 及びその商 $X'/H$ の自己同型群とどのように関係するか？

主な発見

• 有限群 $G = \text{Aut}(X,D)$ は $G' = \text{Aut}(X',T)$ と一致する。ここで $X' = ({\mathbb{B}}/\Gamma_0)'$ はねじれのないボール商 $X_0 = {\mathbb{B}}/\Gamma_0$ のトーラス的コンパクト化であり、$T = X' \setminus X_0$ は境界除集合である。
• 任意の有限部分群 $H \subset \text{Aut}(A = E \times E)$ に対して、商 $A/H$ は、$H$ の固定点構造に応じて、ハイパーエリプティック、楕円曲線を底曲線とするルールド、エンリケス、有理型、または K3 である最小的曲面 $Y$ に有理型同値である。
• $GL(2,R)$ の有限部分群の分類は、固有値を用いて達成され、$GL(2,R)$ の有限位数元の位数は $s \in \{2,3,4,6\}$ に限られる。このような群の構造は、線形部分と平行移動部分によって完全に決定される。
• 半直積構造と固定点解析を用いて、$A/H$ が Kodaira-Enriques 型 K3、ハイパーエリプティック、楕円曲線を底曲線とするルールド、またはエンリケスであるような有限部分群 $H \subset \text{Aut}(A)$ の明示的生成元と関係式が提供される。
• $H = \Gamma / \Gamma_0$ のトーラス的コンパクト化 $X' = ({\mathbb{B}}/\Gamma_0)'$ 上の作用は適切に定義されており、境界除集合 $T$ を保存する。これにより、$\overline{{\mathbb{B}}/\Gamma} = X'/H$ は、至るところ孤立な巡回商特異点を持つコンパクト化が得られる。
• $\overline{{\mathbb{B}}/\Gamma}$ の最小モデルは $A/H$ に有理型同値であり、その数値的不変量（例：$K^2$、$\chi$、$p_g$）は、$H$ が $A$ 上に作用する場合の幾何的不変式理論を適用することで計算される。