[論文レビュー] Galois Groups of Generic Polynomials

Igor Rivin|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、係数が $[-N, N]$ の整数であるランダムなモニック多項式のガロア群が完全対称群 $S_d$ でない確率が、$rac{"log^{f(d)}N}{N}$ で有界であることを確立している。ここで $f(d)$ は明示的に計算可能な多項式的に増加する関数である。この結果は代数幾何（Lang-Weil推定）、群論（有限単純群の分類）、および解法多項式を用いて、可約性とガロア群の制限を分析することで得られ、一般多項式のガロア群の分布に関する長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We show that the Galois group of a random monic polynomial %of degree $d>12$ with integer coefficients between $-N$ and $N$ is NOT $S_d$ with probability $\ll \frac{\log^{Ω(d)}N}{N}.$ Conditionally on NOTbeing the full symmetric group, we have a hierarchy of possibilities each of which has polylog probability of occurring. These results also apply to random polynomials with only a subset of the coefficients allowed to vary. This settles a question going back to 1936.

研究の動機と目的

• 有界な整数係数をもつランダムなモニック多項式のガロア群の分布に関する長年の未解決問題を解消すること。
• このような多項式が $S_d$ や $A_d$ でないガロア群をもつ確率の鋭い上界を確立すること。
• 係数の一部のみがランダムである場合（弱い非退化条件のもと）に、これらの上限を拡張すること。
• 各々が多対数的確率で発生する可能性のあるガロア群の階層を条件付きで提示すること。
• 非-$S_d$ ガロア群をもつ確率が、$N^{-1}$ の任意のべきよりも速く減少し、予想では線形減少に近づくことの実証。

提案手法

• 多項式の因数分解条件によって定義される代数的多様体上の有界高さの整数点の数を、Lang-Weil推定を用いて有界化する。
• S. D. Cohenの、係数が制限された多項式のガロア群に関する結果を用い、小さなガロア群をとる可能性を制御する。
• $S_d$ の部分群、特に $A_d$ に関連する解法多項式を構成し、ガロア群がそれらに含まれるかどうかを検出する。
• 定理9.3の利用：ガロア群が部分群 $G$ の共役に含まれるならば、解法多項式 $Q_G(p)$ は整数解をもつ。
• 与えられた解法多項式が整数解をもつ多項式の数が $O(N^{d-1} \log^{f(d)}N)$ で有界であることに着目し、最終的な確率の上限を得る。
• 有限単純群の分類を用いて $f(d)$ の成長を制御し、$d$ に対して多項式的に増加するように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が $[-N, N]$ の整数であるランダムなモニック多項式が、$S_d$ でないガロア群をもつ確率の漸近的確率は何か？
• RQ2 この確率は、変化する係数の数、特に一部の係数が固定されている場合にどのように依存するか？
• RQ3 従来の結果（例：$O(N^{-1/6})$ や $O(N^{-2+\sqrt{2}})$）よりも、非-$S_d$ ガロア群をもつ確率をより鋭く有界化できるか？
• RQ4 可能なガロア群（例：$A_d$、他の原始的群）の階層と、それらのそれぞれの発生確率は何か？
• RQ5 非-$S_d$ 確率の実際の減少率は、$O(N^{-1})$ に近いか（予想）、それとも多対数的のままであるか？

主な発見

• 係数が $[-N, N]$ の整数であるランダムなモニック多項式が $S_d$ でないガロア群をもつ確率は、$rac{"log^{f(d)}N}{N}$ で有界であり、$f(d)$ は $d$ に対して多項式的に増加する明示的に計算可能な関数である。
• 固定された係数が可約性や $p(x) = f(x^k)$ を強制しない限り、$r \geq 2$ 個の係数がランダムである場合でもこの上限が成り立つ。
• ガロア群が $A_d$ である確率は、$rac{"log^{ frac{\Omega(d)}{N}}}{N}$ で有界であり、$ frac{\Omega(d)}{N}$ は $d$ に対して二次的に増加する。
• $A_d$ に対する解法多項式の手法により、度数 $\geq 12$ の仮定を排除できるが、有限単純群の分類が使われない場合、$f(d)$ がより大きくなる代償がある。
• 本稿は、各々が $N$ の多対数的関数として減少する確率で発生する可能性のあるガロア群の条件付き階層を提示する。
• 著者らは、判別式の平方性と完全平方の数え上げに基づき、真の減少率が線形 $O(N^{-1})$ に近いか、という予想を提示する。