[論文レビュー] Galois groups over rational function fields and explicit Hilbert irreducibility

David Krumm, Nicole Sutherland|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Q[t,x] に属する多項式に対して、一般の場合とは異なったガロア群または因数分解を示す有理数特異化の例外的集合を明示的に計算する手法を開発する。ガロア群理論と有理点の計算を用いて代数的曲線を構成することで、著者らは例外的値を系統的に同定するアプローチを提供し、3つの例を通じてその有効性を示し、有理写像の周期的点に関する算術的力学における新しい結果の証明に応用する。

ABSTRACT

Let $P\in\mathbb Q[t,x]$ be a polynomial in two variables with rational coefficients, and let $G$ be the Galois group of $P$ over the field $\mathbb Q(t)$. It follows from Hilbert's Irreducibility Theorem that for most rational numbers $c$ the specialized polynomial $P(c,x)$ has Galois group isomorphic to $G$ and factors in the same way as $P$. In this paper we discuss methods for computing the group $G$ and obtaining an explicit description of the exceptional numbers $c$, i.e., those for which $P(c,x)$ has Galois group different from $G$ or factors differently from $P$. To illustrate the methods we determine the exceptional specializations of three sample polynomials. In addition, we apply our techniques to prove a new result in arithmetic dynamics.

研究の動機と目的

• Q(t) 上の多項式 P に対して、その一般ガロア群 G とは異なるガロア群を持つ有理数 c ∈ Q の特異化 c に対して、明示的なアルゴリズムを構築すること。
• 既存のヒルベルトの不可約性定理の技法を関数体上の可約多項式へ拡張し、除外値の明示的で有限な集合と、例外的点を定義する曲線を提供すること。
• 具体的な例への適用を通じて、有限および無限の例外的集合を有する多項式を扱い、有理写像の周期的点に関する算術的力学における新しい結果を証明すること。
• 計算的ガロア理論と曲線上の有理点計算を組み合わせることで、数論的設定における例外的特異化を完全に特徴づける可能性を示すこと。

提案手法

• ヒルベルトの不可約性定理の構成的証明を用い、ガロア群 G の各最大部分群 Mi に対して固定体 Fi と、Q(t) 上で Fi を生成するモニックで非可約な多項式 fi(t,x) を関連付ける。
• 例外的集合 E(P) を、各 fi(t,x) の有理数根 c からなる集合と定義するが、判別式 ∆(c) や最高次の係数 ℓ(c) が 0 となる値は除く。
• Fieker と Klüners の手法を可約多項式へ拡張し、Magma で実装された手法を用いて、Q(t) 上の P のガロア群 G を計算する。
• Cannon と Holt のアルゴリズムを用いて、G のすべての最大部分群 Mi を特定し、既知の体論的手法によりその固定体を計算する。
• 例外的特異化を求める問題を、fi(t,x) = 0 で定義される代数的曲線上の有理点の特定に還元する。曲線の有理点計算に利用可能な手法を用いる。
• Magma の組み込み関数 HilbertIrreducibilityCurves を活用し、曲線 Ci の定義方程式の自動構成を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P(t,x) のガロア群が Q(t) 上の一般ガロア群 G とは異なる有理数 c で構成される完全な集合は何か？
• RQ2 どの有理数 c に対して P(c,x) が P(t,x) とは異なる方法で因数分解され、そのような c をどのように系統的に計算できるか？
• RQ3 例外的集合が無限である場合でも、代数的曲線と有理点計算を用いて明示的に記述可能か？
• RQ4 関数体上の計算的ガロア理論を可約多項式へ拡張し、数論的問題に応用するにはどうすればよいか？
• RQ5 この手法を用いて、p進体における周期的点の分布など、算術的力学における新しい結果を証明できるか？

主な発見

• P(t,x) = x^6 + t^6 - 1 に対して、Pc が可約となる唯一の有理数特異化は c = 0, ±1 であり、有限な例外的集合を形成する。
• P(t,x) = x^6 - 4x^2 - t^2 に対しては、c = (v^4 + 16)/(8v) （v ∈ Q）で与えられる無限個の例外的 c が存在し、このとき Pc は2つの非可約3次多項式の積に因数分解される。
• P(t,x) = 3x^4 - 4x^3 + 1 + 3t^2 に対しては、例外的集合が無限であり、c = (v^3 - 9v)/(9(1 - v^2)) （v ∈ Q）でパラメータ化される。このとき Gc は v の値に応じて A4、(Z/2Z)^2、または Z/2Z に同型である。
• P(t,x) = t^4x^3 + a(t)x^2 + b(t)x + c(t) に対しては、例外的集合 E(P) は有限である。これは、例外的軌道を定義する genus 4 および 5 の曲線に Faltings の定理を適用することで示される。
• 本手法により、すべての k ∈ Q に対して、少なくともディリクレ密度で1/3の素数 p に対して、φk,b(z) = kz + b/z が Qp 上に周期5の点を持たないことが証明された。これは Manes の有限性結果を拡張する。
• アルゴリズムは、Q(t) 上の可約多項式に対してもガロア群と固定体を効果的に計算でき、特に次数30の円分多項式 Φ5 に対しても適用可能であるが、高インデックスの部分群に対する固定体計算は依然として計算的に不可能である。