[論文レビュー] Galois groups over rational function fields over skew fields

Gil Alon, François Legrand+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、中心 $ k $ に豊富な体を含むとき、$ H $ がその中心 $ k $ 上の有限次元歪体であるならば、有理関数体 $ H(X) $ 上での逆ガロア問題を解決する。著者らは、$ H(X) $ が $ k $ 上の $ n $ 個の中心変数に関する有理関数体に同型であることを示し、問題を既に解決済みのケースに還元することで、任意の有限群が $ H(X) $ 上でガロア群として実現可能であることを確立する。

ABSTRACT

Let $H$ be a skew field of finite dimension over its center $k$. We solve the Inverse Galois Problem over the field of fractions $H(X)$ of the ring of polynomial functions over $H$ in the variable $X$, if $k$ contains an ample field.

研究の動機と目的

• 有理関数体 $ H(X) $ 上での逆ガロア問題を、$ H $ がその中心 $ k $ 上の有限次元歪体である場合に拡張すること。
• 可換関数体への結果の一般化を通じて、非可換設定における逆ガロア理論のギャップを埋めること。
• 中心 $ k $ に豊富な体を含む限り、任意の有限群が $ H(X) $ 上でガロア群として現れることを確立すること。
• 歪体上での2つの異なる多項式構成、すなわち非中心変数の $ H[X] $ と中心変数 $ t_1,\dots,t_n $ の $ H_c[t_1,\dots,t_n] $ の間のギャップを、それらの同型を示すことによって埋めること。
• 歪体の同型に関して、逆ガロア問題が代数的不変量であることを示し、同型な体間での結果の移行を可能にすること。

提案手法

• ウィルツィンスキの結果を用いて、非中心変数 $ X $ を持つ歪体 $ H $ 上の多項式関数環 $ H[X] $ が、$ n = [H:k] $ 個の中心変数に関する多項式環 $ H_c[t_1,\dots,t_n] $ に同型であることを証明する。
• $ k $ が無限大であるとき、$ H[X] $ が右オーレドメインであることを確立し、これにより古典的右商体 $ H(X) $ の存在が保証される。
• 同型 $ H(X) \cong H_c(t_1,\dots,t_n) $ を用いて、$ H(X) $ 上の問題を、既に知られている $ H_c(t_1,\dots,t_n) $ 上のケースに還元する。デシュランスとレグランの既存結果を活用する。
• 歪体の同型に関して、逆ガロア問題が不変であることを示す（命題3.1）。つまり、有限群 $ G $ が $ H_c(t_1,\dots,t_n) $ 上でガロア群として実現可能ならば、$ H(X) $ 上でも同様に実現可能である。
• $ H_c(t_1,\dots,t_{n-1}) $ の中心が $ k(t_1,\dots,t_{n-1}) $ であることを確認し、$ k $ が豊富な性質を継承するため、[DL19, Théorème B] の適用が可能になる。
• $ H_c(t_1,\dots,t_n) $ がその中心への有限次元歪体拡張であることから、デシュランスとレグランの基礎的結果の適用が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心 $ k $ に豊富な体を含むとき、$ H $ がその中心 $ k $ 上の有限次元歪体であるならば、任意の有限群が有理関数体 $ H(X) $ 上でガロア群として実現可能か？
• RQ2 非中心変数 $ X $ を持つ歪体 $ H $ 上の多項式関数環 $ H[X] $ は、$ n = [H:k] $ 個の中心変数に関する多項式環 $ H_c[t_1,\dots,t_n] $ に同型か？
• RQ3 歪体上での逆ガロア問題は、基本歪体の同型類にのみ依存するのか、それとも同型な体間で結果を移行できるのか？
• RQ4 商体 $ H(X) $ の構造は何か？ また、中心 $ k $ 上の中心変数に関する有理関数体とはどのように関係するか？
• RQ5 有限次元歪体 $ H $ の中心 $ k $ にどのような条件を課すと、$ H(X) $ 上での逆ガロア問題が正の解を持つのか？

主な発見

• 中心 $ k $ が無限大である限り、非中心変数 $ X $ を持つ多項式環 $ H[X] $ の商体 $ H(X) $ は、$ n = [H:k] $ 個の中心変数に関する有理関数体 $ H_c(t_1,\dots,t_n) $ に同型である。
• 歪体 $ H $ の中心 $ k $ に豊富な体が含まれる限り、$ H(X) $ 上での逆ガロア問題は正の解を持つ。つまり、任意の有限群が $ H(X) $ 上でガロア群として実現可能である。
• 同型 $ H(X) \cong H_c(t_1,\dots,t_n) $ を通じて、中心変数のケースから非中心変数のケースへの結果の移行が可能であり、これにより [DL19, Théorème B] に還元して問題を解決する。
• 歪体の同型に関して、逆ガロア問題は不変である。つまり、有限群 $ G $ が一つの歪体上でガロア群として実現可能ならば、任意の同型な歪体上でも同様に実現可能である。
• 例として、$ \mathbb{H}(X) $ のような基本的ケースにも適用可能である。ここで $ \mathbb{H} $ はハミルトンの四元数体であり、$ \mathbb{R} $（$ \mathbb{H} $ の中心）は $ \mathbb{Q}^{\rm{tr}} $ のような豊富な体を含む。
• 追加のケースは註記によりカバーされる。例えば、$ k $ が無限大であるとき、任意のアーベル群、$ m \geq 3 $ の対称群 $ S_m $、$ m \geq 4 $ の交代群 $ A_m $（特性0）、または正の特性で $ n \geq 2 $ の可解群は、すべて $ H(X) $ 上でガロア群として実現可能である。