[論文レビュー] Galois modules, ideal class groups and cubic structures

G. Pappas|ArXiv.org|Jun 20, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ℤ 上の分岐しないガロア被覆の整合的コホモロジー群のガロアモジュール構造と円分イデアル類群の間の深い関係を確立する。群スキーム上の線束にハイパーキュービック構造を導入することにより、コホモロジーにおける仮想正規整数基底の障害が、ベルヌーイ数の積とℤ の偶数位のK群の位数によって消滅することを証明し、これによりクーマー–ヴァンダイバー予想と関連づける。

ABSTRACT

We establish a connection between the theory of cyclotomic ideal class groups and the theory of "geometric" Galois modules and obtain results on the Galois module structure of coherent cohomology groups of Galois covers of varieties over Z. In particular, we show that an invariant that measures the obstruction to the existence of a virtual normal integral basis for the coherent cohomology of such covers is annihilated by a product of certain Bernoulli numbers with orders of even K-groups of Z. We also show that the existence of such a normal integral basis is closely connected to the truth of the Kummer-Vandiver conjecture for the prime divisors of the degree of the cover. Our main tool is a theory of "hypercubic structures" for line bundles over group schemes.

研究の動機と目的

• ℤ 上の分岐しないガロア被覆の整合的コホモロジー群のガロアモジュール構造と円分イデアル類群の理論を結びつけること。
• 群スキーム上の線束のためのハイパーキュービック構造理論を発展させ、中心的道具として用いること。
• ベルヌーイ数とK群を用いて、K₀(ℤ[G]) 内の射影的等変形オイラー特徴の消滅因子を特定すること。
• 正規整数基底の存在とクーマー–ヴァンダイバー予想との関係を調査すること。
• 数体における正規整数基底の古典的結果を、高次元の算術的多様体へと拡張すること。

提案手法

• 有限平坦群スキーム上の線束にハイパーキュービック構造を導入し、高次の乗法的データを符号化する。
• アーベル層の多重拡張と反射準同型を用いて、コホモロジー不変量と算術的データを関連付ける。
• ハイパーキュービック構造を備えたコホモロジーの行列式を構成し、K理論における特徴類を定義する。
• グロテンディーク–リーマン–ロッホの定理と導来圏の技法を用いて、K₀(ℤ[G]) 内のオイラー特徴を計算する。
• ルメリーの整数点定理を経由した算術的ベルティーニの定理を用いて、所望の性質を有するℤ 上の幾何的G- torsor を構成する。
• ガロアモジュール構造の問題を、Cl(ℤ[G]) 内の不変量に還元し、ベルヌーイ数を介してL関数の特別値と関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円分イデアル類群は、ℤ 上のガロア被覆の整合的コホモロジー群のガロアモジュール構造とどのように関係するか？
• RQ2 ハイパーキュービック構造は、仮想正規整数基底の存在の障害を符号化する役割を果たすか？
• RQ3 正規整数基底の障害が、ベルヌーイ数の積とℤ の偶数位のK群の位数によってどのように消滅するか？
• RQ4 クーマー–ヴァンダイバー予想は、アーベル被覆のコホモロジーにおける正規整数基底の存在とどのように関連するか？
• RQ5 算術的ベルティーニの定理を用いて、ℤ 上で所望のコホモロジー的性質を有する幾何的G- torsor を構成できるか？

主な発見

• ℤ-多様体上のG- torsor のコホモロジーにおける仮想正規整数基底の障害は、特定のベルヌーイ数の積とℤ の偶数位のK群の位数の積によって消滅する。
• Gがアーベルで、dim(Y) ≤ 4 またはアーベルのタイプの被覆の場合、2·χᴾ(𝒪_X) はK₀(ℤ[G]) 内で自由なℤ[G]-加群の類である。
• Gの位数が奇数であれば、χᴾ(𝒪_X) 自身がK₀(ℤ[G]) 内で自由なℤ[G]-加群の類である。
• コホモロジーにおける正規整数基底の存在は、|G| の素因数に対するクーマー–ヴァンダイバー予想の真偽に深く関係している。
• コホモロジーの行列式におけるハイパーキュービック構造は、K₀(ℤ[G]) 内のオイラー特徴の標準的な細分を与える。
• 算術的ベルティーニの定理を用いた構成により、ℤ 上で滑らかで射影的な幾何的G- torsor を構成することが可能である。