[論文レビュー] Galois representations and torsion in the coherent cohomology of Hilbert modular varieties

Matthew Emerton, Davide A. Reduzzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、完全実体 $ F $ 上のヒルベルトモジュラー志村多様体の整合的コホロロジーにおける mod $ p^m $ ヒルベルトモジュラー固有クラスに対して、$ p $ が不分岐であるとき、連続的かつ $ R_m $-線形な2次元の擬表現が存在することを確立する。主な結果は、これらのガロア擬表現がフロベニウスのトレースを通じてヘッケ固有値と関連づけられることを示し、ヒルベルトモジュラー設定における torsion コホロロジーにモジュラリティ上昇のアイデアを拡張する。

ABSTRACT

Let $F$ be a totally real number field and let $p$ be a prime unramified in $F$. We prove the existence of Galois pseudo-representations attached to mod $p^m$ Hecke eigenclasses of paritious weight occurring in the coherent cohomology of Hilbert modular varieties for $F$ of level prime to $p$.

研究の動機と目的

• ヒルベルトモジュラー志村多様体の整合的コホロロジーにおける mod $ p^m $ ヘッケ固有クラスに付随するガロア擬表現の存在を確立すること。
• ヒルベルトモジュラー形式の完全実体上での torsion コホロロジークラスに、モジュラリティ上昇技法を拡張すること。
• ケーリングリとジェラフティのモジュラリティ上昇定理の研究を、パリティが整数の重みを持つヒルベルトモジュラー多様体の整合的コホロロジーへ一般化すること。
• 重みシフトと分解技術を用いて、特に不規則な重みにおける整合的コホロロジーの torsion クラスにガロア表現を結びつけるための枠組みを提供すること。
• 古典的モジュラー形式が存在しない状況において、トーラス的コンパクト化の整合的コホロロジーに焦点を当て、存在問題を扱うこと。

提案手法

• トーラス的コンパクト化を用いて、境界除算子 $ D $ を持つ整合的コホロロジーを研究する。
• パリティが整数の重み $ \kappa $ に対して、$ \operatorname{Sh}^{\operatorname{tor}} $ 上のホッジバンドル $ \omega $ および自動形式ラインバンドル $ \omega^\kappa(-D) $ を扱う。
• リフトと複体の分解を構成するため、重みシフト作用素 $ b_\tau $ と部分的ハッセ不変量 $ h_\tau $ を適用する。
• 適切な二重複体と準同型写像を用いて、ガロア的性質を持つヘッケモジュールをモデル化する、好都合な複体の分解を構成する。
• $ R_m $-加群の複体間の準同型写像を用いて、整数的 $ p $-進ガロア表現の還元を通じて擬表現を実現する。
• カルアオール、テイラー、ブラシウス＝ローガウスの理論を用いて、特徴値ゼロのヒルベルトモジュラー固有形式に付随する $ p $-進ガロア表現の半単純化に問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全実体 $ F $ 上のヒルベルトモジュラー多様体の整合的コホロロジーにおける mod $ p^m $ ヘッケ固有クラスに、ガロア擬表現を結びつけることができるか？
• RQ2 これらの擬表現は、すべての $ S $ の外にある $ F $ の有限素点 $ \mathfrak{q} $ に対して、期待されるフロベニウス固有値条件 $ \tau_c(\operatorname{Frob}_\mathfrak{q}) = a_\mathfrak{q}(c) $ を満たすか？
• RQ3 重みシフトと複体の分解の手法を用いて、torsion コホロロジーにおけるガロア的ヘッケモジュールを構成できるか？
• RQ4 このようなガロア表現の存在は、ヒルベルトモジュラー設定における既知の $ p $-進モジュラリティ上昇定理と整合するか？
• RQ5 この構成は、不規則な重みや非正則なコホロロジークラスを含めるように拡張可能か？

主な発見

• 任意のパリティが整数の重み $ \kappa $ に対して、各ヘッケ固有クラス $ c \in H^i(\operatorname{Sh}^{\operatorname{tor}}, \omega^\kappa(-D)) $ に対して、$ G_{F,S} $ の連続的かつ $ R_m $-線形な2次元の擬表現 $ \tau_c $ が存在する。
• 擬表現は、$ S $ の外にある $ F $ のすべての有限素点 $ \mathfrak{q} $ に対して $ \tau_c(\operatorname{Frob}_\mathfrak{q}) = a_\mathfrak{q}(c) $ を満たす。ここで $ a_\mathfrak{q}(c) $ は $ c $ における $ T_\mathfrak{q} $ のヘッケ固有値である。
• この構成は、リフト作用素 $ b_\tau $ と $ h_\tau $ に依存し、複体の準同型写像を用いてコホロロジーとヘッケ作用をモデル化する。
• 擬表現は、特徴値ゼロのヒルベルトモジュラー固有形式に付随する $ p $-進ガロア表現の整数的モデルを $ \varpi_E^m $ を法として還元することで得られる。
• 境界除算子 $ D $ を持つ整合的コホロロジーにおいて、正則および不規則な重みの両方、特に torsion クラスに対してもこの手法が適用可能である。
• 本結果は、ケーリングリとジェラフティがヒルベルトモジュラー設定において予想した、mod $ p^m $ ヒルベルトモジュラー固有クラスに対するガロア表現の存在問題を解決する。