[論文レビュー] Galois representations attached to elliptic curves with complex multiplication

Álvaro Lozano‐Robledo|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、Q(j(E)) 上の複素乗法 (CM) を持つ楕円曲線に付随する p-進ガロア表現の、GL(2, Zp) 内の共轭を除いた完全で明示的な分類を提供する。類体論と複素乗法の理論を用いて、表現 ρE,p∞ の像を Nδ,φ(p∞) ⊆ GL(2, Zp) の部分群として特定し、CM 環 K の判別式 ΔK と導子 f に関する明確な条件を導出する。主な結果は、像の構造の完全な特徴付けであり、Nδ,φ(p∞) における指数、全順相の性質、およびすべての素数 p と CM j-不変量について 2-進および p-進像の明示的特定を含む。

ABSTRACT

The goal of this article is to give an explicit classification of the possible $p$-adic Galois representations that are attached to elliptic curves $E$ with CM defined over $\mathbb{Q}(j(E))$. More precisely, let $K$ be an imaginary quadratic field, and let $\mathcal{O}_{K,f}$ be an order in $K$ of conductor $f\geq 1$. Let $E$ be an elliptic curve with CM by $\mathcal{O}_{K,f}$, such that $E$ is defined by a model over $\mathbb{Q}(j(E))$. Let $p\geq 2$ be a prime, let $G_{\mathbb{Q}(j(E))}$ be the absolute Galois group of $\mathbb{Q}(j(E))$, and let $ ho_{E,p^\infty}\colon G_{\mathbb{Q}(j(E))} o \operatorname{GL}(2,\mathbb{Z}_p)$ be the Galois representation associated to the Galois action on the Tate module $T_p(E)$. The goal is then to describe, explicitly, the groups of $\operatorname{GL}(2,\mathbb{Z}_p)$ that can occur as images of $ ho_{E,p^\infty}$, up to conjugation, for an arbitrary order $\mathcal{O}_{K,f}$.

研究の動機と目的

• Q(j(E)) 上の複素乗法を持つ楕円曲線 E に付随する p-進ガロア表現 ρE,p∞ の像を、GL(2, Zp) 内の共轭を除いて完全かつ明示的に分類すること。
• ρE,p∞ の像が Nδ,φ(p∞) ⊆ GL(2, Zp) の部分群としてどのように構造化されるかを、CM 環 K と導子 f によってパラメータ化して特定すること。
• ρE,p∞ の像が Nδ,φ(p∞) にどの程度の指数で含まれるかを解明し、その指数が 4 または 6 を割り切ることを示し、特に指数が 2 または 4 となる条件を同定すること。
• j-不変量 0 および 1728 の 2-進像を明示的に特定し、Q 上の CM 楕円曲線のすべての可能な 2-進像を分類すること。
• 奇素数 p に対して、ρE,p∞ がその mod p への還元 under the 迴帰写像 GL(2, Zp) → GL(2, Z/pZ) の全逆像であることを確立し、全順相の性質を分析すること。

提案手法

• 類体論と複素乗法の理論を用いて、N- torsion 点 E[N] 上のガロア作用を解釈し、ρE,N の像を Nδ,φ(N) ⊆ GL(2, Z/NZ) の部分群として特定する。
• δ と φ が判別式 ΔK と導子 f によって定まるように、群 Nδ,φ(N) を、カルタン部分群 Cδ,φ(N) の拡張として定義する。
• Serre-Tate 理論と整合的な基底系を用いて、mod N での像を p-進レベルに持ち上げ、ρE,p∞ を整合的表現系として構成する。
• 複素共役の作用と単数群 O×K,f の構造を用いて、ρE,p∞ の像が Nδ,φ(p∞) における指数を決定し、可能な像を分類する。
• 特に p = 2 および j = 0 の場合に、(OK,f / NOK,f)× の部分群の詳細な群論的解析を用いて、すべての可能な 2-進像を分類する。
• 楕円曲線の明示的モデル（例：y² = x³ + s）と分割多項式を用いて、複素共役の E[4] 上の作用を計算し、γ = ρE,2∞(c) を 4 を法として特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q(j(E)) 上に定義された、整数環 OK,f を持つ複素乗法を持つ楕円曲線 E に対して、p-進ガロア表現 ρE,p∞ の可能な像は、GL(2, Zp) 内の共轭を除いてどのようなものか？
• RQ2 ρE,p∞ の像は群 Nδ,φ(p∞) とどのように関係するか？ また、その像が Nδ,φ(p∞) にどの程度の指数で含まれるか？
• RQ3 どの素数 p と j-不変量に対して、全順相 χE,p∞ が Z×p に全射であり、その像の指数が 2 となるか？
• RQ4 Q 上に定義された CM 楕円曲線のすべての可能な 2-進像は何か？ また、それらは j-不変量と複素共役にどのように依存するか？
• RQ5 ρE,p∞ の像はその mod p への還元とどのように関係するか？ また、ρE,p∞ がその mod p への像の全逆像である条件は何か？

主な発見

• ρE,p∞ の像は Nδ,φ(p∞) に含まれ、その指数は 4 または 6 を割り切り、j(E) = 1728 の場合には指数が 2 または 4 である。
• p > 2 かつ jK,f ≠ 0、または p > 3 の場合、p-進表現 ρE,p∞ は、還元写像 GL(2, Zp) → GL(2, Z/pZ) におけるその mod p への還元の全逆像である。
• 全順相 χE,p∞ はすべての十分に大きな p に対して Z×p に全射であり、その像の指数が 2 であることは、p ≡ 1 mod 4 かつ Q(√p) ⊆ Q(jK,f) であることに同値である。
• j(E) = 0 の場合、2-進像は正確に2つある：1つの指数 1（N−1,1(2∞) 全体）と、1つの指数 3（C−1,1(2∞) 内の立方剰余の唯一の部分群）であり、両方とも実現可能である。
• j(E) = 1728 の場合、2-進像の指数は Nδ,φ(2∞) において 2 または 4 であり、Q 上の 28 種類の可能な 2-進像の完全な分類が達成された。
• 2-進像は、Galois 群 Gal(K(jK,f, E[2n])/K(jK,f, h(E[2n]))) が単数群 O×K,f における指数によって決定され、その指数は状況に応じて 1、3、または 4 である。