[論文レビュー] Galois representations attached to Q-curves and the generalized Fermat equation A^4 + B^2 = C^p

Jordan S. Ellenberg|ArXiv.org|Nov 27, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、$p \geq 211$ のとき、一般化されたフェルマー方程式 $A^4 + B^2 = C^p$ は非自明な互いに素な整数解をもたないことを証明している。虚二次体上の $\mathbb{Q}$-曲線に付随する mod $p$ ガロア表現の上への性を確立し、平均 $L$-関数特別値の解析的推定値を用いて、悪還元条件との矛盾により解を除外している。

ABSTRACT

We show that the mod p Galois representations attached to a Q-curve E of degree d over an imaginary quadratic number field K are surjective for all p larger than some constant M_{K,d}, if E has potentially multiplicative reduction at any prime not dividing 6. The proof uses Mazur's formal immersion method, a result of Darmon and Merel on non-split modular curves, and an analytic argument showing that Jacobians of certain twisted modular curves admit quotients with Mordell-Weil rank 0. In combination with a previous theorem of the author and Skinner on modularity of Q-curves, the surjectivity result allows one to show that the generalized Fermat equation A^4 + B^2 = C^p has no nontrivial primitive solutions for p >= 211.

研究の動機と目的

• 虚二次体上の $\mathbb{Q}$-曲線における mod $p$ ガロア表現の上への定理を確立し、モジュラー楕円曲線の研究手法を拡張する。
• 一般化されたフェルマー方程式 $A^4 + B^2 = C^p$ が $p \geq 211$ のとき、原始的で非自明な解をもたないことを証明する。
• $\mathbb{Q}$-曲線の算術とフェルマーの最終定理の証明に用いられるモジュラリティ手法との間のギャップを埋める。
• すべての素数 $p > M_{K,d}$ に対して、$\mathbb{Q}$-曲線の mod $p$ ガロア表現が上であるか、または曲線がすべての素数で潜在的に良い還元を持つような有効な境界 $M_{K,d}$ を提供する。
• 残りのケース $p < 211$ は、特定のモジュラー形式が非ゼロ $L$-値を持つと仮定すれば、有限計算によって解決可能であることを示す。

提案手法

• マズール、モモセ、ダーモン、メレルの幾何的技法を、虚二次体上の $\mathbb{Q}$-曲線に適応する。
• C. スキナーとの前段階の研究で確立された $\mathbb{Q}$-曲線のモジュラリティ定理を適用し、$A^4 + B^2 = C^p$ の解にガロア表現を関連付ける。
• 文献[14]からの $L$-関数特別値の平均的推定値を用いて、新形式空間内の特定の内積が非ゼロであることを示す。
• フリクェ型対合およびねじれたモジュラー曲線 $X_0^s(m;p)$ と $X_0^{ns}(m;p)$ を用いて、ガロア表現の構造を分析する。
• 射影的 mod $p$ ガロア表現 $\mathbb{P}\bar{\rho}_{E,p}$ の像を分析し、$p \geq 211$ のとき、非分裂カルタン部分群の正規化群に含まれることを示す。
• この像の分析と矛盾による議論を組み合わせる：像が非分裂カルタン部分群の正規化群にあるならば、$E$ はすべての素数で潜在的に良い還元を持つべきだが、これは $p$ の上にある素数での悪還元と矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの素数 $p$ に対して方程式 $A^4 + B^2 = C^p$ は非自明な互いに素な整数解を持たないか？
• RQ2 虚二次体 $K$ 上の $\mathbb{Q}$-曲線に付随する mod $p$ ガロア表現が上である条件は何か？
• RQ3 レベル $p^2$ または $2p^2$ の新形式に付随する $L$-関数の解析的性質を用いて、一般化されたフェルマー方程式の解を除外できるか？
• RQ4 $K$ 上の次数 $d$ の $\mathbb{Q}$-曲線の mod $p$ ガロア表現が保証的に上になる最小の $p$ は何か？
• RQ5 $17 \leq p < 211$ の残りのケースは、特定のモジュラー形式が非ゼロ $L$-値を持つことを確認することで解決可能か？

主な発見

• 方程式 $A^4 + B^2 = C^p$ は $p \geq 211$ のとき、非自明な互いに素な整数解をもたない。
• すべての素数 $p > M_{K,d}$ に対して、$\mathbb{Q}$-曲線 $E/K$ の mod $p$ ガロア表現 $\mathbb{P}\bar{\rho}_{E,p}$ は、$E$ が $6$ を割らないすべての素数で潜在的に良い還元を持つ場合を除き、上である。
• $M_{K,d}$ は $K$ と $d$ に依存するが、$E$ の選択とは無関係であり、有効である。
• $p \geq 211$ のとき、$\mathbb{P}\bar{\rho}_{E,p}$ の像は $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_p)$ の非分裂カルタン部分群の正規化群に含まれる。これは $p$ での悪還元と矛盾する。
• レベル $p^2$ の新形式 $f$ に対して $w_p f = f$ が成り立ち、$L(f \otimes \chi, 1)$ が非ゼロならば、そのような $p$ に対して解は存在しない。
• $p > 13$ のとき、$S_2(\Gamma_0(2p^2))$ に属する新形式 $f$ で $w_p f = f$ かつ $w_2 f = -f$ を満たすものが存在するならば、非自明な解は存在しない。