[論文レビュー] Galois Representations with Quaternion Multiplications Associated to Noncongruence Modular Forms

A. O. L. Atkin, Wen-Ching Winnie Li+2 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有理数の二重二次拡大体上での四元数乗法を備えた、重み $κ > 2$ の非合同型尖点形式に関連する4次元 $\rho_\ell$ ガロア表現の自己形式性を確立する。現代のモジュラー性技術、特にセールの予想とタートの消失定理を用いて、これらの表現が $\mathrm{GL}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上の自動形式から生じることを証明し、非合同型形式と合同型形式の係数を結ぶアトキン＝スウィンナートン＝ダイヤーの合同関係を検証する。

ABSTRACT

In this paper we study the compatible family of degree-4 Scholl representations $ρ_{\ell}$ associated with a space $S$ of weight $κ> 2$ noncongruence cusp forms satisfying Quaternion Multiplications over a biquadratic field $K$. It is shown that when either $K$ is totally real or $κ$ is odd, $ρ_\ell$ is automorphic, that is, its associated L-function has the same Euler factors as the L-function of an automorphic form for $GL_4(\mathbb Q)$. Further, it yields a relation between the Fourier coefficients of noncongruence cusp forms in $S$ and those of certain automorphic forms via the three-term Atkin and Swinnerton-Dyer congruences.

研究の動機と目的

• 非合同型尖点形式に付随する4次元シュォル表現の自己形式性を、$\mathbb{Q}$ の二重二次拡大体上での四元数乗法を備えたものについて確立すること。
• これらの表現がテンソル積構成とモジュラー性上昇技術を通じて、$\mathrm{GL}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上の自動形式から生じることを示すこと。
• 非合同型尖点形式と関連する合同型モジュラー形式のフーリエ係数の間の三項アトキン＝スウィンナートン＝ダイヤーの合同関係を検証すること。
• 具体的な例として、$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 上での四元数乗法を備えた新しいケースを含む、このような自動形式上昇の構成。
• $S_3(\Gamma_0(576), (-6/\cdot))$ 内の明示的なヘッケ固有形式 $f$ の構成。この形式の係数は、$\rho_\ell^\text{new} \cong \eta \otimes \mathrm{Ind}_{G_{\mathbb{Q}(\sqrt{-2})}}^G \chi_{-2}^{-1}$ を通じてガロア表現の構造を反映する。

提案手法

• 近いところでの $\mathbb{Q}$ 上のセールの予想の証明を活用し、幾何から生じる2次元 $\ell$-進表現のモジュラー性を確立する。
• タートの消失定理 $H^2(G, \mathbb{C}^\times) = 0$ を用いて、有限像を持つ射影表現 $\tilde{\gamma}$ を、$G$ の通常表現 $\gamma$ に上昇させる。
• $\eta$ がモジュラーで、$K$ という二重二次体の二次部分体上での有限指標から誘導される $\gamma$ を用いて、4次元表現 $\rho_\ell$ をテンソル積 $\eta \otimes \gamma$ として構成する。
• ラマクリシュナンの結果を適用し、テンソル積が $\mathrm{GL}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上の自動表現に対応することを示す。
• 非合同型形式における無効なヘッケ作用素を回避するため、四元数乗法を備えた表現に適応された一般化されたフェルティングス＝セアのモジュラー性技法を用いる。
• 明示的なヘッケ作用素と $\Gamma^1(6)$ の正規化子を用いて、$\mathbb{Q}(\sqrt{-2}, \sqrt{-3})$ 上で作用する四元数乗法作用素 $J_{-2}, J_{-3}$ を定義し、四元数代数を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重二次体上での四元数乗法を備えた4次元シュォル表現が自己形式的であることが示せるか？
• RQ2 四元数乗法を備えた空間における非合同型尖点形式について、アトキン＝スウィンナートン＝ダイヤーの合同関係が成り立つか？
• RQ3 このような非合同型形式に付随するガロア表現が、2次元モジュラー表現のテンソル積として実現可能か？
• RQ4 合同型空間内に、シュォル表現の自動形式上昇を実現する具体的なヘッケ固有形式が存在するか？
• RQ5 四元数乗法作用素 $J_{-2}, J_{-3}$ の構造は、ガロア表現およびその分解とどのように関係するか？

主な発見

• 重み3の非合同型尖点形式の空間 $\langle F_1, F_5 \rangle$ に付随する4次元シュォル表現 $\rho_\ell^\text{new}$ は自己形式的であり、$\mathrm{GL}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上の自動表現に対応する。
• 表現 $\rho_\ell^\text{new}$ は $\eta \otimes \mathrm{Ind}_{G_{\mathbb{Q}(\sqrt{-2})}}^G \chi_{-2}^{-1}$ に同型であり、ここで $\eta$ は合同部分群上の重み3の新形式から生じる。
• 空間 $\langle F_1, F_5 \rangle$ に対して、アトキン＝スウィンナートン＝ダイヤーの合同関係が数値的に検証され、フロベニウスの特性多項式が $\mathbb{Q}(\sqrt{-6})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ などの拡大体上で二次式に分解する。
• ヘッケ固有形式 $f(z)$ が $S_3(\Gamma_0(576), (-6/\cdot))$ 内で明示的に構成され、$i = \sqrt{-1}, j = \sqrt{2}, k = \sqrt{3}$ を含む係数を持つエータ積の線形結合として表される。そのフーリエ係数はガロア表現の係数と一致する。
• $\mathbb{Q}_\ell \otimes \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 上の表現空間は $\mathbb{Q}(\sqrt{-2}, \sqrt{-3})$ 上で四元数乗法を備え、自己準同型代数の代数的構造を確認する。
• $p = 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ の素数について、$\mathrm{Frob}_p$ の特性多項式は $\mathbb{Q}(\sqrt{-6}), \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ などの係数をもつ二次式に分解され、テンソル積構造とアスド合同関係を支持する。